積
基本 例題 257 曲線x=g(y) と軸の間の面積
y=elogx, y=-1, y=2e, y 軸
(2) y=-cosx (0≤x≤π), y=
解答
(1) y=elogx から
x=ee
-1≦y≦2e で常に x>0
2e
1 * ₂7 S=S²₁e²dy=[e·e ² ] ²
=e.e²-e·e-²
=e³-e¹-1
(2)y=-cosx から
よって
指針>まず, 曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。
(1) yelogxをxについて解き
で積分するとよい。
・・・・ x についての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。
(21)と同じように考えても,高校数学の範囲ではy=-cosx を
x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。
(1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く方法
でもよい。
s=S_xdy=
2
1/3
-
--x cos x]*+*cos x dx
=
X COS
π
3
2
= - 1²/17 · ( - 1²/2) + 3/3 - 1/1/2
32
xsinxdx
+0=
dy=sinxdx
+
TC
2
~/N
[
2/3 43
y=-
yA
2el
et s
-1
yA
1
2.
0
1
2,y軸
y
S
12
1
2e+1
T
1
2
π
π
3
LT
4/5/12/30
→
1
123
p.424 基本事項 3
x=e²
******
k
1
2
y=–Cost
π
π
X
重要 263
y₁
d
S
R
x=g(y)
常に
g(y) ≥0
s=Sg(y)dy
(1) 別解 (長方形の面積か
ら引く方法)
S=e²(2e+1)
-4
-Set(elogx+1)dx
=2e³+e²
-[e(x logx-x)+x]+
=e³-¹-
(2) の 別解 (上と同じ方法)
S = ²/3 r. ( 1/2 + 1/2 )
元
-1/2)dx
33
cos x+
-f+[sinx-1/2+125
427
8章
38
面
積
