重要 例題 77 球面のベクトル方程式
00000
空間において,点A(0, 6, 0) を中心とする半径3の球面上を動く点Qを考える。
更に, 原点を0,線分 OQ の中点をPとし, 点A, Q, P の位置ベクトルをそれ
ぞれag, p とする。
このとき, 点Pが満たすベクトル方程式を求めよ。 また, 点P(x,y,z)が描く
図形の方程式をx, y, z を用いて表せ。
[類 立命館大] 基本 39. p.494 基本事項 [4]
[1]
[2]
指針 球面のベクトル方程式
[1] ||=r
中心C(c), 半径r
[2] (-a) (-6)=0
2点A(a), B() が直径の両端
これは,平面で円を表すベクトル方程式と
同じ形である。 そこで, p.442 基本例題 39 と同じ要領で、 いずれかの形を導く。
解答
点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから,
l-al=3 を満たす。
また,線分 OQ の中点がPであるから,i=2127 すなわち
i=2D である。
よって |2p-a|=3
! ゆえに, 点Pが満たすベクトル方程式は
よって, 点Pは,中心 (0, 3,0), 半径 22 の球面上にある。
ゆえに,点Pが描く図形の方程式はx+(y-3)+2=1/
S
OQの中点 ( 2
3
u
2'2'2
よって
s=2x, t=2y, u=2z
これらを①に代入して (2x)²+(2y-6)²+(22)² =3²
ゆえに
x²+(y-3)¹+2¹=
AZ
·P
[参考] [点Pが描く図形の方程式を, 数学Ⅱの軌跡の考え方で求める (数学ⅡI例題108 参照)]
点Qの座標を (s, t, u) とする。
<s, t, u はつぎの文字。
点Qは,点Aを中心とする半径3の球面上の点であるから s'+(t-6)'+u²=32 ...... 0
が点Pと一致するから 2=x, 1/2=y, 1/2
u
=2
b
B
つなぎの文字 s, tu を消
去する。
練習 点Oを原点とする座標空間において, A(5, 4, 2) とする。
|③77 OP-20A･OP+36=0 を満たす点P(x,y, z) の集合はどのような図形を表す
か。 また, その方程式をx, y, zを用いて表せ。
[類 静岡大]
