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数学 高校生

写真の質問に答えてください!

標 例題 138 正弦・余弦定理を利用した測量(2) 1km離れた海上の2地点A, B から,同じ山 頂Cを見たところ, A の東の方向, 見上げた 角が30℃, Bの北東の方向, 見上げた角が45° の位置に見えた。この山の高さ CD を求めよ。 ただし,地点DはCの真下にあり, 3点A,B, GUIDE B D は同じ水平面上にあるものとする。 また,62.45 とする。 CHART 1 CD=hkm として, AD, BD をんで表す。 解答 山の高さ CD をhkm とする。 △ACD は,30°60°90°の直角 三角形であるから 測量の問題 図をかいて、線分や角を三角形の辺や角としてとらえる [2] ∠ADB の大きさを求める。 ・・「Aの東, B の北東の方向に山頂Cが見えた」という条件に注目。 3 △ABD に注目して余弦定理を利用し, h を求める。 A 30° √3hkm h²= 12=(√3h²h²-2√3hhcos45° ん>0 であるから 1km AD=√3hkm また, ABCD は, 45° 45°90° の直角二等辺三角形であるから BD=hkm 次に,地点Dは,A の東の方向かつBの北東の方向にあるから ∠ADB=45° △ABD において, 余弦定理により A B 45° 45 h km すなわち 1=3h²h²-√6h² よって (4-√6) h²=1 4+√6 ゆえに 1km hkm D 4+2.45 4-√6 (4-√6) (4+√6) 16-6 =0.645 -計算は電卓による h=√0.645=0.8031・・・ 答約 803m 30° | TRAINING 138③ 同一水平面上に3地点 A, B, C があって, C には塔PC が 立っている。 AB=80m で,∠PAC=30℃, ∠PAB=75°,∠PBA=60° であった。 塔の高さ PC を求めよ。 ただし, 答えは根号がついたままでよい。 45 ←CD: AC: AD =1:2:√3 ← BD : CD : BC =1:1:2 <cos 45º = --4 分母の有理化 分母・分子に4+√6を 掛ける。 A 30° 17.5 180m 60° B 10 例題 139 正四面体の切り口の三角 1辺の長さが4である正四面体 AB CDの中点をMとし,∠AMB=6 cose の値を求めよ。 (②2) ABM の面積を求めよ。 CHART 空間図形の問題 平面図形(断面図)を取り出す 線分や角は三角形の辺や角としてとらえる 平面図形 (ここでは△ABM) を取り出すと、 例題131と同じ方針で考えることができ (2) かくれた条件 sin'0+cos0=1 から sine の値を求め、面積の公式に代入する。 (1) COSO を △ABM の1つの角の余弦ととらえ、 余弦定理を利用する。 GUIDE (1) ACM, ABCM は, 内角が30%, 60, 90°の直角三角形であるから AM=M=√3CM=√3.2=2√/3 △ADM において, 余弦定理により で Cose (2√3)² + (2√3)²-4² 2.2√3-2√3 65 15 (2) 1から Dit Dは sin20=1-cos'0=1- sin9>0であるから sin よって、ABの面積は AABM -1-( - ) -- on thi 8 24 BM sine= 1 辺 A(B) 30° 30 4 <60° 60% M 14√). 4 2/2 の長さを求めよ。 (2) ADF とおくとき, cosd の値を求めよ。 AAEDの面積を求めよ。 D CM: AC:. -CM: BC -1:2:√3 B 2. sin'+co 6450 RAINING 139 1辺の長さが3である正四面体 ABCD において、C上に点Eを となるようにとる。 (L)【緑

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数学 高校生

⑵で、水色の線で囲んだ部分がOPベクトルの範囲になる時s、tの値はいくつになりますか?例を知りたいです。

「△OAB に対して, 点Pが次の条件を満たしながら動くとき, 点Pの 存在範囲を図示せよ。 (1) OP=SOA+tOB, 0≤s≤2, 1≤t≤2 (2) OP=SOA+tOB, 2≤s+t≤3 1 (1) s とは互いに無関係に変化することから,まず, sを固定してt を動かす。 (2) s+t=1 ならば,Pは直線AB上にある。 そこで, s+t=kとすると2つ S k k -=1,2≦k≦3 である。まず,kを固定して s, tを動かす。 OP=OA' + tOB 解答 (1) sを固定して, OA'= sOA とすると tが1≦t≦2の範囲で変化すると,Pは図の線分P'Q' 上を動く。ただし, OP=OA'+OB, OQ'=OA'+20B で ある。次に,sが 0≦s≦2の範囲で変化すると,線分 P'Q' は図の線分BD から EF まで動く。ただし,OC=20A, OD=2OB, OE=OČ+OB, OF=OC+OD である。 よって、点Pの存在範囲は平行四辺形 BEFD の周および 内部である。 答図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 2≦k≦3 (2) s+t=k(定数)とおくと ・キー S t OP=— (kOÃ)+7 (kOB), 1/12/1/6=1 + k k k kOA=OA', kOBOB' とすると,Pは直線 A'B'上を動く。ここで,OC=20A, OD=30A, OE=2OB, OF=30B とする。 kが2≦k≦3の範囲で変化すると, A'はCからD まで, B'はEからFまで動き, A'B'//CE, A'B' // DF である。 答図の斜線部分。 ただし, 境界線を含む。 D 0 → B B 防固定 平面上のベクトル D #hek

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