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思考プロセス
求める2次関数を y=ax2+bx+c とおく。 ←
頂点の
条件はないから一般形でおく。
条件の言い換え
/直線 y=2x-1
心
x=1で接する
{
[y=ax2+bx+c
y=2x-1
を連立すると, α(x-1)=0 の形になる。
702
5
求める放物線の方程式を
よって
y=ax2+bx+c (0)
a= 4
これを①に代入して
この不等式がの値にかかわらず成り立つから.
-p+mp-3-0の判別式をDとすると
D<0 all pe
25 [区間に定数を含む関数の最大・最小]
f(x)=x10x+18
よって
したがって
120
2/5 <m<2/3
式の全体に絶対値記号
とおくと, 直線 y=2x-1にx=1で接するから
方程式 ax+bx+c=2x-1 は重解 x=1 をもつ。
(1)
y=
(x-1)+(2x-1)
AI (定数) の形であるから
(2)
よって
ax²+bx+c-(2x-1)=a(x-1)2
となるから
y=ax+bx+c
=a(x-1)+(2x-1) ... D
と表せる。 これが, 点 (1,2)を通るから
2=α(-1-1)+(-2-1)
(x-2x+1)+(2x-1) 心
(x²-2x+
1
1
=
·x+
4421
た
したがって、求める放物線の方程式は
A=± (定数)
f(x) のグラフは y=x10x + 18 のグラフを
[y 0 の部分はそのままにして、
ly < 0 の部分はx軸に関して対称に折り返す。
図で考える
(最大値)7となるためには, a Sx Sa+4 は
y=
x+
2
1
4
大阪
24 [放物線がx軸から切り取る 線分 ]
(1) 条件の言い換え
50 +
\y=mx-3
y
思考のプロセス
①がx軸と異なる2点で交わる
y=0とした方程式の (判別式) 0
(①の頂点のy座標) > 0
問題で与えられた他の条件から
どちらが計算しやすいか考える。
BO
AA-4
B
x軸から切り
取る線分
y-
「αより右側」 かつ 「βを含む」 かつ 「yより左側」
β-a=y-B√14 <4であるから,
例えば、 「x=αで最大かつx = β [
a+4
「に含まれない」 場合はない。
(1) f(x) = 7 より
|x10x +18|-7
(i) x10x + 187 のとき
x-10x+11= 0
よって x = 5±√14
(i)x10x + 18 7 のとき
x-10x +25=0
(2) y=f(x) のグラフは次のようになる
x-10x+18=±7
|A-7 のとき
A=±2
18
思考のプ
a-5
β-5
となる.
(x-5)=0
このときの ABの長さをm で表す。
よって x=5
(2) (①とy軸の共有点のy座標)
①の頂点が直線
O
(i), (ii)より
←y=mx-3上にある
x=5±√14,5
= g = -p+mp -3
求めるものの言い換え
y=-po+mp-3
の値にかかわらず-p+mp-30 となるmの値の範囲
1) 放物線 ① の頂点は直線 y=mx-3 上にあり,
頂点のx座標が-4であるから, y 座標は
-4-3である。
したがって, 放物線 ①がx軸から切り取る線分の
長さは
-4+√-4m-3-(-4-√ -4m-3)
放物線 ①は上に凸であるから, x軸と異なる2点
(a, b) (2 301
=2√-4m-3
4m-3)
で交わるためには
-4m-3 0
頂点に関する条件が与
えられているから,
(2)y=-xp ++g より 放物線 ①の頂点
の座標は (p,p+g
1121210
3 (頂点の座標) > 0
よって m<-
4 から考える。
これが直線 y=mx-3 上にあるから
p'+q=mp-3
p²+mp-3
ここで、①は y=(x+4)-4m-3 と表され
るから,①とx軸の交点のx座標は
よって
-(x+4)-4m-3=0
(x+4)=-4m-3
x=-4±√-4m-3
q=
よって, 放物線 ①とy軸の共有点のy座標は
-mp-3であり, これが負となるから
-p+mp-3<0
5
0
15-14 5+14
ここで, 5-(5-√14)=√14 <
(5+√14)-5=√14 <4である
が7となるのは
5-√14sa かつ as5
かつ a+
3
のときである。
①より
② より
1≤a≤5
a≤ 1+√14
したがって、 求めるαの値
5-14 sasit
