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例題 4
背理法による証明
第2章 集合と命題
★★★★
a,b,cは2+B2=c2 を満たす自然数とする。 このとき, a, b の少なくとも一方は偶数であること
を背理法を用いて示せ。
[類 岐阜聖徳学園大]
結論を否定して矛盾を導く
考え方
ポイント
結論が成り立たないと仮定する。 (結論を否定する)
⇒
「a, b の少なくとも一方は偶数」の否定は 「α, bがともに奇数」
'+6=c2の両辺について, 4の倍数であるかどうかを調べる。
解答
a b がともに奇数であると仮定する。
① 結論を否定
② 右辺を調べる
→
このとき,a2,62 は奇数であるから,c=d' +62 は偶数である。
左辺を調べる
③ 矛盾を導く
練習
4
よって, cも偶数であるから, cは自然数を用いてc=2k と表される。
ゆえに,c2=(2k2=4k2となり,kは整数であるから,2は4の倍数である。
一方,奇数a, b は自然数m, nを用いて, a=2m-16=2n-1 と表される。
このとき,a+b2=(2m-1)+(2n-1)²=4(m²+n²-m-n) +2 となり,
m²+n-m-nは整数であるから, a' + 62 は4の倍数ではない。
ゆえに,'+b2=c2 において,右辺は4の倍数であるが, 左辺は4の倍数でない
から, 矛盾する。
したがって, a,bの少なくとも一方は偶数である。
[終]
(1)正の整数xが3の倍数ではないとき,x2を3で割った余りは1であることを示せ。
(2)x,y,z は x2+y'=z' を満たす正の整数とする。 このとき, x, yの少なくとも一方は
3の倍数であることを, 背理法を用いて示せ。
[類 大阪学院大 ]
の実
大
