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重要 例題 280 直線y=xの周りの回転体の体積
不等式 x-x≦y≦x で表される座標平面上の領域を,直線y=xの周りに1回転
A
して得られる回転体の体積Vを求めよ。
[学習院大 ]
基本 272
指針▷ これまではx軸またはy軸の周りの回転体の体積を扱ってきたが,この例題では直線
y=xの周りの回転体である。
したがって,回転体の断面積や積分変数は回転軸(直線y=x) に対応して考えることに
体積 断面積をつかむ の方針
なる。
そこで,解答の上側の図のように放物線上の点Pから直線y=xに垂線PQを引いて、
PQ=h, 0Q=t とし,積分変数をt(0≦t≦2√2) とした定積分を考える。
このとき, 断面は線分PQ を半径とする円になるから, その面積は
πh²
解答
題意の領域は、右図の赤く塗った部分
である。 放物線y=x²-x 上の点
P(x, x2-x) (0≦x≦2) から直線y=x
に垂線PQを引き,
PQ=h, OQ=t (0≦t≦2√2)
とする。 このとき
h=x-(x2-x)_2x-x2
√2
t=√2x-h=√2x-²x=2x² = √2
ゆえに
dt=√2xdx
tとxの対応は表のようになるから
2
コ
V=x√²h²dt
=T
√2
2 (2x-x2) 2
√2xdx
π
= √2 S² (4x² - 4x² + x³) dx
π
π
6 12
*√/₂2 [× ¹ — ²/² x ² + x ² ] ²
= √2-16-8√/2
15
15
π
YA y=x2-xy=x
2
2√2
√2 x
O
he
45°
全体の長さ
1
2√2LF?
P(x, x2-x)
2
t
x 0
y=x
x
(x,x)
1
hx-(x²-x)
P(x,x2-x)
02√2
2
(*) hは,直線y=xとx軸
の正の向きとのなす角が45°
であることに注目して求めた。
なお,以下の点と直線の距離
の公式を利用してもよい。
点 (xo,yo) から直線
lax+by+c=0 に引いた垂線
の長さは
ax+by+cl
√a²+b²
上から2番目の図参照。
htはxの式になるから,
体積Vの計算(tでの定積
分) を, 置換積分法により
xでの定積分にもち込む。
(検討)
放物線y=x2-xについて,
y'=2x-1からx=0のとき
y'=-1
よって、原点における接線は,
直線y=x と垂直。
1-03-
1S
