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83 折れ線の長さの最小
重要例題
A(2,5), B(9, 0) とするとき, 直線 x+y=5 上に点Pをとり, AP+PBを
最小にする点Pの座標を求めよ。
OOO0O
【日本獣畜大)
基本79
CHART O5OLUTION
折れ線の問題には 線対称移動
直線 :x+y=5 に関して2点 A, Bが同じ側にあるから考えにくい。
そこで,直線lに関してAと対称な点 A'をとると
OrnTOR
AH
こある
AP+PB=A'P+PB2A'B
等号が成り立つのは, 3点A', P, Bが一直線上にあるときである。…
ゆえに、直線 lと直線 A'Bの交点が求める点Pである。
3章
字を含ま
解答
2点A, Bは直線!に関して同じ側にある。
直線!:x+y=5 ….
使用する。
1点です
EELO
*直線!に関して点Pと
点Qが対称→
[1] PQL H
[2] 線分 PQ の中点が
直線上にある
11
() に
関してAと対称な点を A'(a, b)
0.2
直
線
A
o 上にもも
とする。
直線上
AA'1l から
b-5
P。
すには、
*直線 AA'はx軸に垂直
B
2一3.(-1)=-1
x
上にも
を示
5
9
ではないから aキ2
0
2
a-2
垂直→傾きの積が -1
a-b=-3 2②
e
よって
線分 AA'の中点が直線!上にあ
2+a
小泉
は直
にある
5+6
2
-=5
をー
るから
2
|たそのときの
線分 AA'の垂直二等分
3
よって
a+b=3
ゆえに
A(0, 3)
2, ③ を解いて
このとき
a=0, b=3
『よって, 3点A', P, Bが一直線上にあるとき, AP+PB は最 線上の点は、2点A, A'
から等距離にある。
AP+PB=AP+PB>A'B
よって AP=A'P
*2点A', B間の最短経
路は、2点を結ぶ線分
小になる”。
x
y
+=1 すなわち x+3y=9 …④
最大と
直線A'Bの方程式は
9
3
直線 A'Bと直線lの交点を Po とすると, その座標は
Po(3, 2)
A'Bである。
小景の頭ボ
ゆえに
0, ④ を解いて
x=3, y=2
(3, 2)
したがって, AP+PB を最小にする点Pの座標は
点からの
直線 2:y=x+1 と2点A(1, 4), B(5, 6) がある。直線!上の点Pで, AP+PE
【類富山大
PRACTICE …83°
uCE 8寸。
を最小にする点Pの座標を求めよ。
る、
こを導く。
を示す
