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重要 例題 144 三角方程式の解の個数
aは定数とする。0に関する方程式 sin²0-cos0+α=0 について,次の問いに答
えよ。ただし、0≦0 <2π とする。
(1) この方程式が解をもつためのαの条件を求めよ。
(2) この方程式の解の個数をaの値の範囲によって調べよ。
指針 cos0=xとおいて, 方程式を整理すると
前ページと同じように考えてもよいが, 処理が煩雑に感じられる。そこで,
x²+x-1-a=0 (-1≤x≤1)
WATC
① 定数αの入った方程式 f(x)=αの形に直してから処理に従い,定数aを右
辺に移項した x2+x-1=αの形で扱うと、関数 y=x2+x-1(-1≦x≦1) のグラフと直
線y=a の共有点の問題に帰着できる。
直線y=a を平行移動して, グラフとの共有点を調べる。 なお, (2) では
x=-11であるxに対して0はそれぞれ1個,
-1<x<1であるxに対して0は2個あることに注意する。
解答
COS0=x とおくと, 0≦0<2πから
方程式は
(1-x2)-x+a=0
したがって
x2+x-1=a
5
f(x)=x2+x-1 とすると
= ( x + 1 1/2)²³ - 1²/1/2
(1) 求める条件は、-1≦x≦1の範囲で, 関数 y=f(x) の
グラフと直線y=α が共有点をもつ条件と同じである。
よって、 右の図から
≦a≦1
5
(2) 関数y=f(x)のグラフと直線y=a の共有点を考えて
求める解の個数は次のようになる。
5
4
5
[1] a<-1, 1 <a のとき共有点はないから 0個
[2] a=--
-1≤x≤1
5
[3] <a<1のとき
f(x)=(x+
のとき,x=- から 2個
=1/3から
2
1
2
<x<0 の範囲に共有点はそ
[6]→
[5] -
練習
④ 44 よって調べよ。 ただし, 0≦02m とする。
[4]/
[3]+
[2]
この解法の特長は, 放物線を
固定して, 考えることができ
るところにある。
[6] -
[5]
[4] -
[2]+
[4]+
グラフをかくため基本形に。
iy=f(x)
ya
XA
11
0
-1<x<-
1
2'
れぞれ1個ずつあるから 4個
[4] α=1のとき、x=-1
から 3個
0
[5] -1<a<1のとき,0<x<1の範囲に共有点は1個あるから2個
[6] α=1のとき、x=1から1個
π
重要 143
1
y4
1
O
12
1x
[Q
20
152-7605724
0に関する方程式 2cos20-sin0-a-1=0の解の個数を,定数aの値の範囲に
Cp. 226 EX90, 91
[3]
225
144 24 三角関数の応用
4章
23
