基本
例題30 線分の垂直に関する証明
OOO00
△ABC の重心をG, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。日AA
(1) OA+OB+OC=OH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。
(2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G
【類山梨大)
基本 23
基本 68
音針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で
ある。
AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 のとき
AHIBC, BH」TA → AH·BC=0, BH·CA=0
であるから,内積を利用 して, ④ [(内積)30] を計算により示す。
0は△ABC の外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。
1日
の
CHART 線分の垂直(内積) %3D0 を利用
間( TSHAH
解答
(1) ZAキ90°,ZBキ90° としてよい。
このとき,外心0は辺BC, CA上
にはない。
OH=OA+OB+OC から
AH=OH-OA=OB+O¢
ゆえに AH-B
=(OB+OC)-(OC-OB)
OAN=OCP-10BF=0
A
(直角三角形のときは
2C=90° とする。
このとき, 外心は辺 AB上
にある(辺 AB の中点)。
0
0 R+0
B
るで関こD点
a BC=OC-OB (分割)
0- 1AABCの外心0→
OA=OB=0C(数学 A)
AJ
同様にして
38すさう-1
BH-CA=(OA+OC)· (OA-OC)
=|OAF-|OCf=0
AH=OB+OC+0, BH=OA+O¢+0
SA
検討)
また, ①から
よって, AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから
AHIBC, BH CA すなわち AHIBC, BHLCA
したがって,点Hは△ABCの垂心である。
(2) oG= _1OH から OH=30G
外心,重心,垂心を通る直線
(この例題の直線 OGH)を
オイラー線 という。
ただし,正三角形は除く。
OA+OB+OC
=OH から OH=30G
(1) から-
OA+OE+OC=oH
A+8A
3
ゆえに GH=OH-OG=20G
よって,3点0, G, Hは一直線上にあり
OAN+OO+
GH=20G
