Example 4*****
kを実数とし, 双曲線 x-y2=1 と直線 2x-y+k=0 が異なる2点P,
(1)の値の範囲を求めよ。 (2) 点Rの座標をk を用いて表せ。
Qで交わるとする。 線分 PQ の中点をRとする。
(3)んが (1) で求めた範囲を動くとき, 点Rの軌跡を求めよ。
解答 (1)x2-y2=1,2x-y+k=0 からyを消去して整理す
ると3x2+4kx+k2+1=0
......
・①
xの2次方程式 ①の判別式をDとすると
D.
=(2k)2-3(k+1)=k2-3
4
[20 島根大]
【Key 双曲線と直線が
異なる2点で交わると
この2式からyを
消去した方程式の判別
式Dについて
D>0
①が異なる2つの実数解をもつから
これを解くと
k2-3>0
<-√3/3 <k 答
(2)点P,Qのx座標をα, β とおくと, α,βは①の実数解
であるから,解と係数の関係により
点Rの座標を (X, Y) とおくと
2
a+b=-4
3
x=ª+B==²²k, Y=2X+k=2(−²¾½³k)+k=− k
3
k
Support 解と係数の
関係を利用する。
Support 点Rは直線
2x-y+k=0 上の点で
あるから, Y=2X+k
よって、点Rの座標は
-/1/23
12/23k,
答
(3) (2)*) Y=
3
Y = 1/1 (-1/2) = 1/2x===
また,(1)より1/31k>2 2√3
2√3
2/3-2/
>
-k
すなわち
X<-
x-232/x
2√3
<X
3
3
したがって, 点Rの軌跡は
直線 y=
1/2のxく
2√3
2√3
2√3
,
3
3
< x の部分 答
