135 等式の証明
基本例題
nが自然数のとき, 数学的帰納法を用いて次の等式を証明せよ。
1・1!+2・2!+.
·+n•n!=(n+1)!−1
数学的帰納法による証明は, 前ページの例のように次の手順で示す。
[1] n=1のときを証明。
[2]=kのときに成り立つという仮定のもとで,
n=
1のときも成り立つことを証明。
[1][2] より,すべての自然数nで成り立つ。
← まとめ
[2] においては,n=kのとき ① が成り立つと仮定した等式を使って, ①のn=k+1のと
きの左辺1・1!+2・+••••••+k・k!+(k+1)・(k+1)! が,右辺(k+1)+1}!-1に等しくな
ることを示す。
また、結論を忘れずに書くこと。
[補足] 上の [1] [2] が示されたとすると,次のようにして, n= 1,2,3,
........
立つこととなる。
[1] から, n=1のとき①が成り立つ
(*) および [2] から, n=2のとき① が成り立つ
(**) および [2] から, n=3のとき ① が成り立つ
→
n=1のとき
1-(8-a1)-mor-CI=
(左辺)=1・1!=1, (右辺)=(1+1)!−1=1
よっては成り立つ。
[2] n=kのとき, ① が成り立つと仮定すると
1･1!+2・2!+••••••+k•k!=(k+1)! -1
n=k+1のときを考えると, ② から
JUNCTUS
1·1+2·2!+·+k·k! +(k+1)•(k+1)!
=(k+1)!-1+(k+1)・(k+1)!
={1+(k+1)}(k+1)! -1
=(k+2)(k+1)!−1=(k+2)!−1
②
={(k+1)+1}!-1
よって,n=k+1のときにも ①は成り立つ。
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[1], [2] からすべての自然数nについて ① は成り立つ。
(J bom) "C=4
[類 早稲田大〕
p.590 基本事項 ①
出発点
と順に成り
(*)
(**)
注意
は数学的帰納法の
決まり文句。 答案ではきちん
と書くようにしよう。
< ① でn=kとおいたもの。
n=k+1のときの①の左
辺。
n=k+1のときの ① の右
辺。
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3章
17
数学的帰納法
