第1節 数列とその和 133
例題 8 nは自然数とする。 座標平面上の3点 (0, 0), (2n, 0), (0, n) を頂点
指針
とする三角形の周および内部にある格子点(x座標, y 座標がともに
整数である点) の個数を求めよ。
n] に具体的な数を代入してグラフをかき,見通しを立てる。
例えば n=4 のとき, 右の図のようになり,格子点
の個数は
5+4・2+3・2+2・2+1・2
YA
あるいは
9 +7 +5 +3 +1
n=4のとき
あるいは
(5.9-5)+2+5
このことから,本間の格子点の個数は,次の2通り
の方法で求めることができる。
4321
3
2
1. 直線 x=k または y=k上の格子点の個数
012345678 x
を求め,加える。
2. 三角形上の個数を長方形上の個数の半分とみる。このとき, 対角線上の格子点
の個数を考慮する。
[解答 2点 (2n, 0), (0, n) を通る直線 l の方程式は
x+2y=2n
直線 y=k (k=0, 1, ......, n) と直線lの交点の
座標は (2n-2k, k) であるから, 条件を満たす格子
点のうち, 直線 y=k 上にある点の個数は
YA
n
k=n
(2n-2k+1)個
y=k
__k=0
x
0
2n-2k 2n
2n-2k+1である。
よって, 求める格子点の個数は
n
0
n
Σ(2n-2k+1)=Σ(2n-2k+1)+Σ(2n-2k+1)
k=0
k=0
k=1
n
n
=(2n+1)+(2n+1)Ž1−2Σk
k=1
k=1
=(2n+1)+(2n+1)n-2・1/2n(n+1)=(n+1)2
