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基礎問
90
第4章 極
51 数列・関数の極限(L)(b)別リアル)
X X X X X ? L
① (2)
BR
る.
(1) 一般項am をnで表せ.
数列 {an} は, a1= =1/12/1
..
(2) Sm= Can をnで表せ.
k=1
精講
(n+2)an+1=nan (n=1,2, ･･･) をみたしてい
(3) lim (S)" を求めよ.ただし, lim
11-00
典型的な極限の問題です.
(1) は数学Bの範囲ですが, 漸化式のなかでは, 難しいほうに入りま
す。(数学ⅡI・Bの基礎問では扱っていません)
そこで,次のパターンを覚えておくことになります。
(an+1=f(n) an (f(n): 分数式) 型漸化式の解き方〉
2 (1+1 ) ² = e
ak+1
ak
(3)のただしがきにある 「lim (1+1/2)"=
→∞
72-00
-=
=f(k) として,kに1,2,.., n-1 を代入して辺々かける。ただし
=e」 は受験生が正しく使えない公式の
代表格ですが,大切な公式です。 使い方にコツがあるので, ポイントをよくみ
てください
解答
(1) (n+2)an+1=nan より ak+1 k
ak k+2
A₂ A³
a₁ az
1,2,.... n-1 を代入して, 辺々かけると
n≧2のとき, 「い冷合わせるため
を用いてよい。
an 1.23
an-1
3 4 5
n−2_n_l
n n+1
an
2
=
よって,
as n(n+1) F-t, a== n(n+1) (a₁ = 1/29)
これは,n=1のときも含むので,
かけ終わりかけ
初めより, n-121
これから n≧2
辺々かける
an
n(n+1)
(別解)(かなり速いのですが、理解しにくいかもしれません)
(+2)an+1=nan の両辺に n +1 をかけると,
(+2)(n+1)an+1=(n+1)nan
ゆえに, 数列{(n+1) nan) は, 初項 2.1.a=1, 公比1の等比数列.
よって, n(n+1)an=1
iha
(2) (数学ⅡIB119)
Sn=
= ²₁R (k² + 1) = ² ( 1/² - x + 1) = 1
(3) (S.)-(1)-("+¹)*((₁+²)
=
tim (S.)*=lim{(1+2)^-
11-00
ポイント
演習問題 51
.. an=
1
(別解) (S)"=(1- 1) において,(n+1)=N とおくと,
-N-1
△→∞
(S.)-(1+) -(1+)*(1 + 2 ) " - ((₁ + + ) * T * (₁ + 2 ) "
N
n→∞ のとき, N- ∞ だから,
lim (S.)" =— Jim_{(1 + + )"}*(¹ + ) ¹ = 0 ²¹ = 1/
n→∞
e
+
(1) lim
1
n(n+1)
=e
(△はすべて同じもの)
次の極限値を求めよ.
2n
no 2n+1)
1
n
n+1 n+1
² = = e = ¹ = ² (
(数学ⅡI・B64 指数の計算)
1
注 この公式は「△→±∞」で成りたちます.
0
91
(2) lim (1+-
71-00
2n
第4章
