次の不等式を証明せよ。
(3) la-b|+|6-c|2|a-c|
考え方 絶対値の性質を利用する。
a20のとき |a|=a
|a|2a(等号はa>0のとき成立), |a|N-a(等号はa<0のとき成立)
または,両辺とも正であるから, 両辺の平方を比較する。
|aド=a", |a||6=lab|
解答 (1) -la|sa^\al, -|6|sbs|6|
辺々を加えて
aS0のとき |a|=-a
e DI、た△でうレー
ゆえに |a+b|ハ_a|+|6|
等号は(|a|=aかつ|6|3D6)または(|a|=-aかつ|6|=-6)
a20
620
aS0
bS0
すなわち ab20のとき成り立つ。
(別解(|a|+|b|)?-la+6l°
=la|"+2|a||6|+|6|8-(a+b)*
=a°+2|ab|+6ー(α°+2ab+6°)
=2(|ab|-ab)20
ゆえに |a+b°ハ(_al+|6|)2
la+b|20, |a|+| 620であるから 1a+blslal+| ||
等号は|ab|=abすなわち ab>0のとき成り立つ。(終
(2)(1)の不等式を2回用いると
等号は(a+b)cN0かつ ab20, すなわち
(a+b)c20→[(a+b20, c20)または(α+b<0, c£0)]
十の
ab20→
(a20, b20) または (a£0, b<0)
(a20, 620, cN0)または (aミ0, 650, c%0) のとき成り立つ。終