[an+1
2
を示せ.
徳島大
2an (1-an) のとき, 0 < an ≦
(3) 0 < α₁ ≤ 1⁄2, an+1 =
An ≤ 1/1/21
an ≦ an+1 を示し lim an =
=1/12 を示せ。
n→∞
〔三重大〕
《方針》次の原則(例外はあります)
漸化式で定義された数列の一般項についての証明
帰納法
に従います。 以下ではいちいち明記しませんが, 帰納法を何度も用いていま
す。 また数学の文章において 「帰納法」 はすべて数学的帰納法のことです｡
《解答》(1) x1 > √a と
xn2+a-2√axn
(xn - √a)²
2xn
......... (
Xn+1- -√a=
2.xn
から
xn> √a
⇒Xn+1> √a
がいえるので,帰納法で x> <a (n = 1, 2, …..) がいえる。次に③から
1 Xn-√a
Xn+1
- √a =
=
(xn - √a)
2
であり,ここで
Xn-√a
0 <
=1-
≤1
Xn
だから
√a
xnk
(3) y=2x(1-x)=-2(x-1/2) 2+ /1/2について,
0 < x≤ 1/2 ⇒0<y≤ 1/1/
である. ここでx=an とおくと y = an+1 となるので
0 < an ≤ ½ ⇒ 0 < an+1 ≤
がいえる。これと0<a≦1/2をあわせて
0 < an ≤ ½ (n = 1, 2, ...)
2
が成り立つ。また漸化式から
Has
(0<a, ≤ 1/29)
an
an+1 - an = an (1-2an) ≧0
だから an+1≧ an がいえる. さらに漸化式から
an+1=
1/201
-(1 − 4an + 4an²)
2
=
= 1/(1 – 2an)² = (1 - 2an)
- 2an) ( 1⁄2 — an)
< (1-2a₁) (-a)
(an ≧ aより)
BAKOS 1/1/20
an+1≦(1-241) (1212-an) であり,これをくり返し用い
ると
n-1
0 ≤ ½- an ≤ (1 - 2a₁)¹-¹ (-½ − a₁)
となり、0<a≦1/23より0≦1-24 <1だから右辺はn→∞ のとき 0
に収束するので, はさみうちの原理より
lim an =
1
2
U
n→∞
CHOCO
27-4-20
