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解答
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基本 例題 24 数列の和と一般項, 部分数列
|初項から第n項までの和SnがSm = 2n²-n となる数列{an} について
(2) 和α+a+as+ +αzn-1 を求めよ。
p.439 基本事項 基本4
(1) 一般項an を求めよ。
指針
(1) 初項から第n項までの和Snと一般項an の関係は
n≧2のとき
Sn=a+a+
-) Sn-1=a₁ + a₂+.
Sn-Sn-1=
(1) n ≧2のとき
+an-i+an
an よって an=S-Sn-1
n=1のとき
a1=S1
和 Smがnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項an を求める。
(2) 数列の和
まず一般項 (第k項) をんの式で表す
.... 第k項
.......+an-1
第1項、第2項,第3項,
a1,
a3,
a5,
a2k-1
であるから, an に n=2k-1 を代入して第k項の式を求める。
なお, 数列 a1, A3,A5, ....., azn-1 のように, 数列{an} からいくつかの項を取り除
いてできる数列を, {an}の部分数列という。
=4n-3
①
an=Sn-Sn-1=(2n²-n)-{2(n-1)²-(n-1)}
また
a=Si=2・12-1=1
ここで, ① において n=1 とすると
よって,n=1のときにも ① は成り立つ。
したがって
an=4n-3
(2)(1)より, 2-14(2k-1)-3=8k-7であるから
......
α=4・1-3=1
n
atastat...... +a2n-1=22k-1=2 (8k-7)
k=1
n
k=1
= 8. n(n+1)=7n
=n(4n-3)
S=2²-nであるから
Sn-1=2(n-1)²-(n-
初項は特別扱い
am はn≧1で1つのボ
表される。
a2k-1 lan=4n-31
いてぃに2k-1を代
の公式を利用
n≧1でan=S-S-」 となる場合
例題 (1) のように, an = Sn-Sn-1 でn=1 とした値と α が一致するのは, Smの式でn=
検討
したとき So=0 すなわち n の多項式 Sn の定数項が 0 となる場合である。 もし、
Sn=2n²n+1(定数項が
-S-S1-1=4n-3(n≧2)))
り
SPEE
