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重要 例題 36 三角形の内心を表す複素数
異なる3点O(0),A(α), B(β) を頂点とする △OAB の内心をP(z) とする。
このときは次の等式を満たすことを示せ。 BRONEO A
ゆえに
よって
指針> 三角形の内心は,3つの内角の二等分線の交点である。
AD: DB = OA: OB=α: 6
解答
OA=|α|=a, OB=||= b,
AB=|β-α|=c とおく。
また,∠AOB の二等分線と辺ABの
交点をD(w) とする。
すなわち
次の 「角の二等分線の定理」
(*)を利用し, ZOの二等分
線と辺AB の交点をD(w) として,wをα, β で表す。
(*) 右の図で OD が △OAB の ∠0 の二等分線
⇒ AD: DB = OA: OB
EO
A
40.1
次に,OAD において,∠Aと二等分線 AP に注目する。
以上のことは,内心の位置ベクトルを求めるときの考え方とまったく同じである。
「改訂版 チャート式基礎からの数学ⅡI + B 」 p.422 参照。
ba+aß
であるから
a+b
Pは∠OAB の二等分線とOD の交点であるから
W=
2=
タミ
a+b
a+b+c
W=
Bla+lalß R$
|a|+|B|+|B-α|
......
検討 △ABCの内ふた土
OP:PD=OA: AD=α: (a+bc) = (a + b) : c
OP: OD=(a+b): (a+b+c)
a+b+c
|Bla+\a\B
|a|+|B|+|β-al
A(a) ・a
a+b bata
a+b
a
=
P(z) b
D(w) bB(B)
ROBADA (5)
bataß
O
絶対値が付いたままでは扱
いにくいので, a,b,c と
SALL
おいた。
SKOLAGD
角の二等分線の定理。
B
これより,Pは線分 OD を
(a+b):cに内分する点で
あるから
c.0+(a+b)w
a+b+cz=a+b+c
としてもよい。
