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基本 例画 24 数列の和と一般項, 部分数列
00000
|初項から第n項までの和Sn が 2n²-nとなる数列{an}について
(1) 一般項 am を求めよ。
指針
((2) 和α1+α+α+....+α2n-1 を求めよ。
(1)初項から第n項までの和S”と一般項αの関係は
p.439 基本事項 4 基本 48
n≧2のとき
Sm=a+az+.
+an-1+an
- Sn-i=a+az+.
+an-1
Sn-Sn-1=
an
よって an=Sn-Sn-1
n=1のとき
a1=Si
和Sがnの式で表された数列については,この公式を利用して一般項 αn を求める。
(2) 数列の和 ①まず一般項(第ん項) をんの式で表す
第1項 第2項,第3項,
......,第k項
a1,
a3,
a5,
a2k-1
であるから, am に n=2k-1 を代入して第k項の式を求める
なお,数列 a1, 3, 5, an-1 のように, 数列{a}からいくつかの項を取り除
いてできる数列を,{a} の部分数列という。 200 00 06816P 68
SA aɛ 08 AS 815 12 (6) 23
a=S-S1= (2n-n){2(n-1)-(n-1)}+8
S=2n²nであるから
Sn1=2(n-1)2-(n-1)
(1) n≧2のとき
解答
=4n-3
・・・・・
①
また α=S=2.12-1=1
+s) +81 +2
(
初項は特別扱い
ことに注意
ここで, ① において n=1 とすると
よって, n=1のときにも①は成り立つ。
したがって an=4n-3
1=4・1-3=1
ann≧1で1つの式に
表される。
(2) (1)より, a2k-1=4(2k-1)-3=8k-7であるから
n
nst) 0+s
から aux-はan=4n-3にお
「いてぇに2k-1を代入。
a+as+as+…+azn-1=242k-1=2(8k-7)
3-
k=1
k=1
=8.1m(n+1)-7n
(Fn(4n-3)
11+(1-10) x
nas-S
[A
Zk, 1 の公式を利用。
に浸
部めく
基4
数列Ⅰ・
指針
