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重要 例題 57
剰余の定
(1) f(x)=x-ax +6 が (x-1)2で割り切
を温以上の整数とするとき、 x-1 を (x-1)で割ったときの余りを
求めよ。
CHART & SOLUTION
割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用
1 次数に注目
② 余りには剰余の定理
[学習院大] 基本 53
(1)(x-1)2で割り切れる⇒f(x)=(x-1)2Q)×(左党
⇒f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。
(2)次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,°=1,6°=1である。
解答
a-b"= (a-b)(a1+α"-26+α"-362++ab"-2+6"-1)
(1) f(x) は x-1で割り切れるからdf(1)=0
よって 1-a+b=0
-aa-1 L
,348 10
1
1 -α+1
ゆえに
b=a-1..
・①
したがって f(x)=x-ax+α-1
=(x-1)(x2+x+1-α )
ST-A-AS-8-Sa-11-a+1
g(x)=x2+x+1-α とすると
よって
3-a=0
ゆえに
g(1)=0
a=3
条件から,g(x)も
で割り切れる。
これを 1 に代入して b=2
(2) x-1 を2次式 (x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余
りを ax + b とすると,次の等式が成り立つ。-xs-
x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+b
両辺に x=1 を代入すると
1
割り算の基本公式
A=BQ+R
ゆえに
x"-1=(x-1)2Q(x)+ax-a
0=a+b
よって b=-a
=(x-1){(x-1)Q(x)+α}
x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2++x+1)であるから
xn-1+x"-2+……………+x+1=(x-1)Q(x)+α)
(x-1)2Q(x)+α
1=x であるか
b=-a=-n) (S-x)=8の項数はxから
両辺に x=1 を代入すると 1+1+....+1+1= a
よって
a=n
ゆえに
したがって、求める余りは
nx-n
PRACTICE
570
での
