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基本例題 10 支払いに関する場合の数
00000
500円,100円,10円の3種類の硬貨がたくさんある。この3種類の硬貨を使っ
1200円を支払う方法は何通りあるか。ただし, 使わない硬貨があってもよ
いものとする。
基本7
指針 支払いに使う硬貨 500 円,100 円,10円の枚数をそれぞれx,y,zとすると
500x+100y+10z=1200 (x,y,zは0以上の整数)
この方程式の解 (x,y,z) の個数を求める。
...... 金額が最も大きい 500円の枚数xで場合分けすると, 分け方が少なくてすむ。
支払いに使う 500円 100円 10円硬貨の枚数をそれぞれ
解答 x,y,zとすると, x,y,zは0以上の整数で
500x+100y+10z = 1200 すなわち 50x
+10y+z=120 不定方程式 (p.569~)。
ゆえに 50x120- (10y+z) ≦120
y≧0, z≧0であるから
これを満た
50x≤120
す0以上の整数を求める。
よって 5x≦12
x=0, 1,2
xは0以上の整数であるから
[1] x=2のとき
10y+z=20
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y,z)=(2,0),(1,10),(0, 20) の3通り。
[2]x=1のとき
10y+z=70
この等式を満たす0以上の整数y, zの組は
(y, z)=(7, 0), (6, 10), ………, 0, 70 の8通り。
[3] x=0のとき
10y+z=120
この等式を満たす 0 以上の整数y, zの組は
(y,z)=(12,0),(11,10),
****, (0, 120)
の13通り。
[1], [2], [3] の場合は同時には起こらないから, 求める場
合の数は
3+8+13=24 (通り)
10y=20-z≦20 から
10y 20 すなわち y≦2
よって y=0, 1,2
10y=70-z70 から
10y≦70 すなわち y≦7
よって y=0, 1, …, 7
10y=120-z120から
10y≦120
すなわちy≦12
よって y=0,1, …, 12
和の法則
すべての種類の硬貨を使う場合の考え方
検討
もし、上の問題で 「すべての種類の硬貨を使う」とあった場合は,次のように処理できる
条件を先に片付けておくと, 数値が簡単になって処理しやすくなる。
①3種類の硬貨をすべて使う-
→1200円から, 500円 1枚, 100円 1枚, 10円1枚を除
いた 1200-(500+100+10)=590 (円) について考える。
② 590円の90円は10円硬貨で支払う→更に10円9枚を除くと 590-9×10=500(円)
後は,500円を支払う方法(使わない硬貨があってもよい)を考えると
500円 1枚のとき, 100円 10円とも0枚の1通り。
500円 0枚のとき, 100円, 10円の枚数をそれぞれα, bとすると
(a,b)=(0,50) 1,40) (2,30) (3,20), (4,10 (50) の6通り。
したがって, 合計で7通りある。
練習 10ユーロ, 20ユーロ,50ユーロの紙幣を使って支払いをする。 ちょうど200ユー
③10 口を支払う方法は何通りあるか。ただし、どの紙幣も十分な枚数を持っているもの
とし, 使わない紙幣があってもよいとする。
[早稲田大〕 p.357 EX9、
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章
章
2 場合の数
