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基本 例題 223 係数に文字を含む3次関数の最大・最小
a を正の定数とする。 3次関数f(x)=x2ax2+α'x 0≦x≦1 における最大
値M (α) を求めよ。
類立命館大]
基本219 重要 224
000
指針 文字係数の関数の最大値であるが, p.350 基本例題 219 と同じ要領で,極値と区間の
y
を
端での関数の値を比べて最大値を決定する。
f(x) の値の変化を調べると, y=f(x) のグラフは右図のよう
になる(原点を通る)。ここで,x=1/3以外にf(x)=f(1)
満たすx (これをαとする) があることに注意が必要。
よって、1/3, a (10/<a)が区間0≦x≦1に含まれるかどうか
3'
で場合分けを行う。
f'(x)=3x2-4ax+α²= (3x-a)(x-a)
解答 f'(x)=0とすると
a
x=
a
3'
a>0であるから, f(x) の増減表は次のようになる。
a
...
a
...
-
0 +
a
a
3
ax
まずは、f'(x)=0を満た
すxの値を調べ, 増減表
をかく。
<a>0 から
0<<a
x
3
f'(x) + 0
f(x) 極大 極小>>(0)
ここで,f(x)=x(x2-2ax+α2)=x(x-α)から
x=
4
()=(-a)-a, f(a)=0
1/3以外にf(x) = 27 を満たすxの値を求めると,
4
f(x)=から
27
4
x³-2ax²+ax-7a²=0
(*) 曲線 y=f(x) と直線
y=
v=1は、x=1/3の
点において接するから、
f(x)-(x-1)
で割り切れる。このこと
を利用して因数分解する
とよい。
XC
ゆえに (x-1)(x-/1/20)-0
1
-2a
a²
=0
a
5
02
27
3
3
x=1であるから
4
x=
a
5
4
1
a
a²
0
うになる。
よって, f(x) 0≦x≦1における最大値M (α) は,次のよ
3
a
4
a²
3
9
[1] 1<- a
すなわちα>3のとき [1]
1
-
a
0
3
f(x)はx=1で最大となり
a2-2a+1
M(α)=f(1)
0
13
-最大
a
X
指針」
******
★ の方針。
[1] は区間に極値をとる
xの値を含まず 区間の
右端で最大となる場合。
