-
![]()
3 [2014 関西大]
y2=4x4+221 を満たす自然数 x, y を求める。
(1) 自然数m,nに対して, 2"1=nが成立したとする。 2" は偶数だから,nは奇
数となる。 よって, ある自然数を用いてn=2r1と表せる。 このとき,
2"=2(272-72+1)が成立する。もし, 22-72が0でなければ,2"
がある1より大きい奇数で割り切れることになり,矛盾する。 したがって,
となる。
m=n=
(2) y2-4.x を因数分解すると(y+22+2)(y-22 x2) となる。
ウ
y+
y+
2x225 が成立する。よって,
x2=2 (21)が成立する。一般に, 最大公約数が1である自然数 1,
”に対して, uv がある自然数の2乗になるならば, u, それぞれがある自然数の2
乗になる。したがって,(1)より、x=2^口,
と求まる。
解答
y2=4x4+221
2･
2
ウ
2
x2は221 の正の約数だから, ある0以上の整数aを用いて
①とする。
(1) 2m-1=n2, n=2r-1から
x2 = 2 と表せる。 このとき, y-
2m=n2+1=(2x-1)2+1=4r2-4r+2=2(2r2-72+1)
22-2r=0 より nr-1)=0
このとき
と表せる。
m=n=1
(2) y2-4x^=y²-(2x²)2=(y+ 2x2)(y-2x2)
① より, y+2x2 は 221 の正の約数であるから
y+2x2=2(aは0以上の整数)
7²=
このとき, 2(y-2x² =221 より y-2x2=2 (21-4)
②③ から
(2* (2a-21) — 1)
2.2x2=2a_221-221-d(2*
2.2x²=(2x)2 であり,221-4, 224-21-1 は互いに素であるから, 221-4, 224-21-1 はそ
れぞれある自然数の2乗になる。
は自然数であるから r=1
221-4 がある自然数の2乗になるとき, a は 0≦a≦21 を満たす奇数である。 ...... ④
一方,224-21-1について, 2a-21 は整数であるが, 2a-21 ≤0 とすると, 224-21_1
は自然数とならない。
2m-1²が成立するとき
ABAR LIOS
m=n=1
したがって, 2a-21 は自然数である。
ゆえに, 22-21-1 がある自然数の2乗になるとき, (1) より 2a-21=1
これを解くと a=11 これは ④ を満たす。
このとき
22.x2=221-11.1より x=28 すなわち x=24
y=2x2+221-a=2.28+221-11 = 3.29
221~1
(0)1=s
2621-11-2)
8
