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兵庫医科大<記述 (過程含む)>
曲線 C: y=x^-9x3 +27x2 -31x + 12 が 1本の直線と異なる2点P, Qで接する。
次の問いに答えなさい。
(1)x軸,y軸との共有点をすべて求め,それらの座標を使って曲線Cのグラフの概
形を描きなさい。
(2) 直線 PQ の方程式を求めなさい。
(3) 曲線 Cと直線 PQ で囲まれた部分の面積を求めなさい。
(1)
着眼点 (1) 因数分解する。
(2) 接点の座標を(t, -9t+27f2-31t+12) とおいた接線とCが,さらに異なる点
で接する条件を考える。
または、接線の方程式をy=g(x) とおき, 2点P,Qのx座標をpg とおくと
x-9x3 +27x2-31x+12-g(x)=(x-p)2(x-g)2
はxの恒等式となる。
(3) Cの方程式から接線の方程式を引き, 接点間で定積分する。
解法
Cと軸との共有点の座標は (0,12)
C:y=x-9x3+ 27x2 -31x + 12 ......①
また、①の右辺をf(x) とおくと
1 -9 27 -31
12
f(1) = 0
1 -8
19
-12
であるから, 右の組立除法により
1
-8 19 -12
0
y=(x-1)(x-3)(x-4
1
-7
12
と変形できるから, Cとx軸との共有点は
(1, 0), (3, 0), (4, 0)
3
1
-7
12
0
3.
-12
よって,Cのグラフは下図のようになる。
1
-4
0
Ay
12
O
3
x
(2)Cと直線の接点の座標を (t, t-9t3 + 27t2-31t12) とおくと
