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408 第7章 積分法
例題
214
考え方 部分分数に分解してから積分する.
(1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より,
- 2
練習
部分分数に分解する
次の不定積分を求めよ.
2
(1) Sy² + ₁²x + 3 dx
4x
214
2
x²+4x+3
(2)
として, α, bの値を求める.
(2) 分解する形に注意しよう.
1
x²(x-1)
L
解答 Cは積分定数とする.
とおくと,
a
+6
(x+1)(x+3)¯x+1+x+3=1 / ₂²
a b
1
x²(x-1)
(1) x2+4x+3=(x+1)(x+3) より,
2
b
+
x+3
とおくと,
+ +
x²
1
x²(x-1)
(x+1)(x+3)x+1
=log
したがって
C
x-1
a
b
× ² ² + 0 ₁ ) ) —
x-1
a
x+1
x+3
RETO (d+xo)
したがって
a=1, b=-1
2
2
*₂²₁ √x² + ²x + 3 dx = S(x + 1} (x + 3) dx
よって, S
4x
= S(x+1=x+3)dx
10***TOX
(2) S x²(x-1)
2= a (x+3)+b(x+1)+(x-1)
+C
次の不定積分を求めよ.
x-1
(1)
-dx
x²+3x+2
部分分数に分解
467 BR
C
x-1
a b
= + +
x x²
1= ax(x-1)+b(x-1)+cx²
a=-1, b=-1, c=1
*₂t, S₁x²(x²-1)dx= √(- =— — — — — — + _ _ —-—-—- ) d x
よって,xx-1)=(1/
1
2
x²
x-1
==+log|¹|+C
x-1
+]
08
Sdx=log|x|+C
M
=log|x+1|-log|x+3+C)log M-log N=log N
[(x)+ g(x)] da
=xb (d+x)/(x(x) dx + √√(=) dr
*l+C
xについての恒等式を解く.
1=ax(x-1)+b(x−1)
+cx²
(a+c)x²+(-a+b)x
=−log|x|+=+log|x−1|+C
x
dx
1
2T___X²Y=X+X²+ =
**
EIS
b
X Y = + 1/2
1 a
XY X Y
1 a b
Xyz = x + 1/
XYZ
X Y
a b
dr
S dx
(2) √√x (x + ₁)(x+2)
+
xについての恒等式を解く.
2= a (x+3)+b(x+1)
(a+b)x+(3a+b-2)=0
したがって, a+b=0
3a+b-2-0
これより, α=1,b=-1
-(6+1)=0
dx Leb, a+c=0,
-a+b=0, b+1=0
これより,
a=-1, b=-1, c=1
|Sdx=log|x|+C
dx
(3) √x(x + 1)²²
p. 411
