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の条件
OO00
基本 例題154 三角形の成立条件, 鈍角三角形となるた
AB=2, BC=x, CA=3である △ABC がある。
(1) xのとりうる値の範囲を求めよ。
(2) AABC が鈍角三角形であるとき, xの値の範囲を求めよ。
(類関東学院。
日に
p.230 基本事項 (3, 4
重要15
指針>(1) 三角形の成立条件 |b-c|<a<b+cを利用する。
ここでは,|3-2|<x<3+2の形で使うと計算が簡単になる。 0
(2) 鈍角三角形において, 最大の角以外の角はすべて鋭角であるから, 最大の角が築角
なる場合を考えればよい(三角形の辺と角の大小関係より, 最大の辺を考えることに
る)。そこで,最大辺の長さが3かxかで場合分けをする。
ADは例えば CA(=3) が最大辺とすると, ie: Ania=o:6
c+a-6)
- ニーー
B
<0 → +a°ー6ぴ<0
+1左関 先 2ca
となり,ぴ>c°+a' が導かれる。これに6=3, c==2, a=xを代入して, xの2次不等
ZBが鈍角一→ cos B<0 →
C-19で現
TD が得られる。
解答
よりつaie: 8nie( Anielx-3<2<x+3または
い:レ=niz: &e
の(1) 条件から
3-2<x<3+2
12-x|<3<2+xを解いて
xの値の範囲を求めても。
いが,面倒。
Tレe 150
CA、
よって
1<xく5
(2) [1] 1<x<3のとき, 最大辺の長さは3であるから,その
対角が 90°より大きいとき鈍角三角形になる。
de
ゆえに
3>2?+x?
AD すなわち
x?-5<0
3
よって
5<x<5 s
1<x<、5ム
[2] 3Sx<5のとき, 最大辺の長さはxであるから, その対
角が90°より大きいとき鈍角三角形になる。
ゆえに
B
x
1<x<3との共通範囲は
B>90°→ AC">AB°+BC
A
ゆえに
x>22+3°
2
3
すなわち
x2-13>0
(x+/13)(x-V13)>0
xく-V13, V13 <x
さる
B
よって
A>90°→BC*>AB°+AC
ゆえに
=8ns)
3Sx<5との共通範囲は
[1], [2] を合わせて
V13<x<5
1<xく、5,(13<x<5
ときる 0
参考 鋭角三角形である条件を求める際にも, 最大の角に着目し、
最大の角が鋭角となる場合を考えればよい。
