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08
基本 例題 57
交点の位置ベクトル (空間)
四面体 OABCにおいて, OA=d, OB=1, OC=c とする。 線分ABを
12 に内分する点を L, 線分BCの中点をMとする。 線分AM と線分 C
の交点をPとするとき,OPをd,,こを用いて表せ。
p.87 基本事項 4. p. 105 基本事項 1 基本29 基本 59
CHART & SOLUTION
交点の位置ベクトル 2通りに表し 係数比較
Momo33
平面の場合 (基本例題 29) と同様に, AP: PM=s : (1-s), CP:PL=t: (1 - t) として、
点Pを線分AMにおける内分点, 線分 CL における内分点の2通りにとらえ, OP
ズーム
べ
りに表す。
解答
OL-20A+OB+16
a+
3
3
1+2
OMOB+OC-12/26+2/28
2
AP:PM=s: (1-s) とすると
OP= (1-s)OA+sOM
=(-s)a+s(+1)
=(1-s)a+sb+sc
CP:PL=t: (1-t) とすると
0
別解 ABMと直線LC
にメネラウスの定理を用い
第解こ内
C
ると
AL BC MP
LB CM PA =1
と
C
S
A
2
よって 1.4.M-1
12MP
71
1-S
M
ゆえに,MP=PA となり、
1-t 2
B
Pは線分AM の中点である。
よって
OP=OA+OM
①
2
10
6+c
2
2
OP= (1-1)0€+10L = (1-1)+(a+16) ^±±²à±±±±±
2
- ta+b+(1-1)c
・②
①,②から (1-sat/s6+1/2sc=1/21+1/316+(1-1)
4点 0, A, B, Cは同じ平面上にないから
t
同じ平面上にない4点0
A(a),B(b),C(c)に対
し、次のことが成り立つ。
sa+to+uc
F = s'a+t'б+u'c
Je
1-s=
2
1-8-1, -1,
-1-1
1-5=1321 1/28-1/3を連立して解くと S=1/21-22
03
AM
SE
t=
これは, 12s=1-1 を満たす。ゆえに OP = 1/24 + 1/6+1/20
t', u' は実数)
PRACTICE 57 9
たす点とする。
u=u' (s, t, u,s',
四面体 OABC の辺 AB, BC, CA を 3:22:31:4 に内分する点を,それぞれD,
EF とする。 CDとEFの交点をHとし, OA=d,OB=6,OC=2とする。このと
ベクトルOH を a, b, c を用いて表せ。
土
