基礎問
102 第3章 図形の性質
59 平面幾何 (ⅡI)
△ABCの辺AB, ACの中点をそれぞれD, E とし, BE, CD
の交点をGとする。 4点 D, B, C, E が同一円周上にあるとき,
次のことを証明せよ.
(1) AB=AC
(2) 2∠ABG=∠BAE のとき,
∠BAG =∠ABG
(3) (2) のとき, △ABCは正三角形.
|精講
B'
(1) 円周角の性質から等しい角が何組かありそうです.また,中
連結定理より,BC//DE だから,等しい角が何組かありそうです
(錯角,同位角).だから,直接のねらいは AB=AC ではなく
解答
(1) ∠DBE=α, ∠EBC =β とおくと,
∠ABC=∠ACB になりそうです.つまり, 結論が長さであっても,角に注目
する,ということです.
D
(2)(1)より, △ABC は AB = AC をみたす二等辺三角形です.
また,Gは△ABCの重心 (51) だから, 直線AGは辺BCの垂直 2等分
線. よって, ∠BAG =∠CAG です.
(3)(1)より, △ABC はすでに二等辺三角形であることが確定しているので
あと何がいえればよいか考えます. たとえば,
(1) ∠BAC=∠ABC ( ∠BAC=∠ACB) (2) AB=BC (AC=BC)
∠DBC=α+β
また,円周角の性質より,
∠DCE=∠DBE=α, ∠EDC=∠EBC=β
次に,中点連結定理より DE // BC だから,
∠EDC=∠DCB=β(錯角)
.. ∠ECB=∠DCE + ∠DCB=α+β
よって, <DBC=∠ECB, すなわち,∠ABC=∠ACB
B
D
G
la
B
E
