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(1) xの2次式 x+2ax+a+6 が完全平方式となるように,定数aの
値を定め,完全平方式で表せ、
(2) x-xy-2y+5x+ay+6 がx, yの1次式の積となるように,定
数aの値を定め,因数分解せよ。
こか OS 第1章
0-トーE-
考え方( )°の式を完全平方式という。
(1)(与式)=0 の判別式 D=0 ←→(与式)3 (x-a)? を利用する。
(2) xの2次式とみて式変形してみる。
解答(1) x+2ax+a+6=0 とおいたときの判別式をDとすると,「=0」とおいた2次
D=0 のとき,左辺は完全平方式となる. 永多 方程式が重解をもつ
が I+ m>»>m (む 大)
左辺は()°の式に
因数分解される
D-a-(a+6)
(3) 8.4
もらき 1+n>
a=-2, 3
=(a+2)(a-3)==0 より,
一 )=-2 のとき, (与式)=x°-4x+4=(x-2)? +
a=3 のとき,(与式)=x°+6x+9=(x+3)?
(2) xの2次方程式 x°-xy-2y?+5x+ay+6=0
の判別式をDとすると, ①の解は,
-(y-5)x-2y?+ay+6=0より, x=ソ-5±D
したがって,与式は、(1+p)大野式 よを」の公式を用いる。
左辺を整理して, 解
2
(与式)-(+--D(+-x=5)
ソ-5+VD
22
(与式)= (x-
と式変形できる。
D=(y-5)?-4(-2y+ay+6)
y?-10y+25+8y?-4ay-24
=9y°-2(2a+5)y+1kさ楽
したがって,与式がx, yの1次式の積になるのは,
根号の中のDがyの完全平方式となるときである。
つまり,9y°-2(2a+5)y+1=0 の判別式を D. と
すると,求める条件は,D.=0 である。
xーソ-5-/D
ax?+ bx+c=0 の
2つの解がa, βの
とき,
a(x-a)(x-B)=0
Dが完全平方式のと
き、
『D=(1次式)
=|1次式
次はyの2次方程式
とみて考える。よ
D.
=(2a+5)?-9·1=0
4
(2a+5+3)(2a+5-3)=0 より,
a=-4 のとき, (与式)=x°-(y-5)x-2y°-4y+6
a=-4, -1
与式の係数に着目し、
=x°ー(y-5)x-2(y-1)(y+3)|(与式)
=(x+y+3)(x-2y+2)
13)
=(x+y+b)
a=-1 のとき,(与式)=x°-(y-5)x-2y?-y+6 x (x=2y+q)
=x°-(y-5)x-(y+2)(2y-3) とおいてp, qを決
=(x+y+2)(x-2y+3)
定してもよい。
