(3) 数学的帰納法を利用する.3以上の整数であるから,まず n=3 のときを示す。
1 ()160 0
eK ちケ(x)|
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不等式の証明3
例題 199
1 声0
x(
次の不等式を証明せよ。
log(x+1)-1ogx<-
(1)x>0 のとき,
xlogx2(x-1)log (x+1)
(2) x21 のとき,
(3) 3以上の整数nに対して,
(新潟大改
(1)f(x)=(右辺)ー(左辺)とおいて考える。+)1
(2) g(x)= (左辺)ー(右辺) とおいて考える。
(左辺)-(右辺)では考えにくい場合は,別の方法を考える。
考え方 不等式の証明は-の20 を考える。
0,0。
1
(1)x>0 のとき, f(x)=-
-{log(x+1)-1ogx} とおく
解答
x
と、
注
1
1
1
1
直上のf(x)=D-
x2
x+1
x
0 したがって, x>0 のとき,f'(x)<0 であるから,
f(x)は単調減少する。
x>0 のとき,
|x>0, x+1>0
(z)(x
(また,
lim f(x)=lim
(--log )立な の
x+1
X→ 0
x→ 0 X
x
1-x
ひく:
=lim
-log(1+
=0
x
0<
03 (x)
x→ o (X
(2) したがって,
よって,x>0 のとき,自変 開凸凹の分で )
log(x+1)-1ogx<-
f(x)>0
x
0…00
0=ま
+x+x8-(x)
平は成り立つ。
x
(2) g(x)=xlogxー(x-1)log(x+1) とおくと,2の
g(x)=1-logx+x-1-1og (x+1)-(x-1)…
1
1
積の微分
x
2
-+logx-log(x+1)
x+1
燥図
logx-log(x+1)>-
(1)より,x21 のとき,
(2) 加速度 (加度べ
したがって, g'(x)>-
より,x21 のとき, g(x) は単調増加する。
1)の不等式の両辺に
-1を掛けたもの
x21 のとき,
1
x
2
1
x-1
x+1
x
J2001%3Dxよって, g(1)=0 より, x21 のとき、gg(x)20
x-120, x+1>
練習
199
犬 つまり,
変化すxlogx> (x-1)log (x+1) れg(x)
は成り立つ。
1…
x
