なんで重解または虚数解を持つ時は3つの実数解を持たないことになるんですか？

重要 例題 218 4次関数が極大値をもたない条件 00000 関数f(x)=x-8x3+18kx2 が極大値をもたないとき, 定数kの値の範囲を求め あ xε=y (s) 4次関数 f(x)がx=pで極大値をもつ [福島大] 基本 211 214 x 指針 x=pの前後で3次関数 f'(x)の符号が正から負に変わる f'(x) + であるから, f'(x) の符号が「正から負に変わらない」 条件を 考える。 3次関数f'(x) のグラフとx軸の上下関係をイメー Þ 0 f(x) 極大 ジするとよい。なお, 解答の右横の図は y=x(x2-6x+9k) のグラフである。 f'(x)=4x-24x2+36kx=4x(x2-6x+9k) 解の前後で f'(x) の符号が正から負に変わらないことであ る。このことは、f'(x)のxの係数は正であるから,3次 方程式 f'(x)=0が異なる3つの実数解をもたないことと 同じである。 解答 f(x) が極大値をもたないための条件は、f'(x)=0の実数 f'(x)=0とするとx=0 または x2-6x+9k=0 よって、 求める条件は, x2-6x+9k=0が k≥1 YA k>1 k=1 3 x 347 |k=0 YA [1] 重解または虚数解をもつ [2] x=0 を解にもつ [1] x2-6x+9k=0 の判別式をDとすると D≤0 D =(-3)-9k=9(1-k) であるから 1-k≤0 よっての k≧12枚 [2] x2-6x+9k=0に x=0を代入すると k=0 したがって k=0. k≧1 x 6 174 関数 f(x) 「4次の係数は正] に対し, f'(x) = 0 は 章 3E 3 関

黄色マーカーのところで、 なぜα^2が虚数だと言えるのですか？ また、なぜα^3は虚数じゃないんですか？ 教えてほしいです。

【4】 b を正の数としの2次方程式 bx+1=0が虚数解 α をもつとする。次 の問いに答えよ。 (1)ものとり得る値の範囲を求めよ、 (2) (3) 次の条件 (1) (II)をともに満たす 3次方程式が存在するようなもの値をすべて求め α α をそれぞれ Aα+ B (A, B はもの多項式) の形で表せ. 32 よ (I) 係数はすべて実数である。 実数に、宗教、共役な複素数 (II)α2 とαの両方を解にもつ。 (40点) x²-bx+/- 考え方 (1) 判別式の符号を考えましょう。 (2)xαが方程式f(x)=0の解であることは, f (α) =0が成り立つことと同値です. (3) as は虚数となるので、条件(1) (I)をともに満たす3次方程式が存在するとき、その3次方程式は虚数解を2個も ち、それらの虚数は互いに共役となります。”も解ですから、がと共役かどうかで場合分けをしましょかも x2-bx +1=0 【解答】 (1) ①の判別式をDとすると D=(-b)2-4.1.1=62-4=(b+2)(b-2) ax+bx+cx+d=o abc.da 無の和 2解を α + + 8 = a だったら、係数 ......① x + 3 + 8 x - 右ができ が成り立つ である実数係数の2次方程式 ① が虚数解をもつのでD0,すなわち 2<b<2であり,これと60よりものとり得る値の範囲は 0<b<2 である. ......② (答) (2) αは①の解であるから α-ba+1=0 が成り立つ. よって a²=ba-1 であり,③を用いると α = α α2 =α(ba-1) ......③ (答) a 2-えがのだったり、又は2 =bba-1)-α =(2-1)a-b 2つが消えるような数 3次代の解はPic で、答えは実数になるということは、 共役な複素数をもつ数が目にある xxbx + 1 で割ることに x3 = (x2-bx+1)(x+6) +(62-1)x-b ････④ (答) となる. でくる が得られる.これにx=αを代 入してもよい. 解説 1° 実数係数の方程式 (3) αは虚数であるから, a α = α (1-α) ¥0 である. よって、α キαで あるから, (II)を満たす3次方程式の3つの解のうち2つはα αである. また,αは虚数で, 60であるから,③ より αは虚数である,よって,(I), (II)をともに満たす3次方程式は と共役な複素数(キα2)も解にもつの で、もう1つの解をすると (7) B= a²) が実数 (1) a³ = a² のいずれかが成り立つ かがの共役な複素数 バー(一) 共役な複素数という意味 (ア)のとき, α2+β=a2+αであるから,α2 +βは実数である.また, は実数であ と虚数解 X, Y を実数とし、 |α = X + Yi とすると, α = X-Yi であるから a² + a² = 2X となる. よって, α2 + α は実 数である. 解説 2°解と係数の関係 (I)と解と係数の関係よりα + α + βも実数である. よって るから,④と② より すなわち b2-1 = 0 かつ 0<b<2 (610-6 再 だから、を消したい! →6210であればOK ー ②数13- b2=1 Ocbc2より b=1

この問題がよく分かりません。 何が分からないのかもわかっていないレベルなので 詳しく教えていただけるとありがたいです。 大雑把な質問で申し訳ありませんがお願いします🙇‍♀️

83 数分解できる。 もち 次式×2次式 よ」とい 解すればよい。 の 指針 与式がx、yの1次式の積の形に因数分解できるということは、 (与式)=(ax+by+c)(px+y+z) 例題 47 因数分解ができるための条件 00000 x2+3xy+2y2-3x-5y+kがxyの1次式の積に因数分解できるとき、定数k の値を求めよ。 また、 その場合に、この式を因数分解せよ。 [東京薬大] 基本46 を利用 =0 とおいて解く の公式。 狐の前の2 (0) 解答 を忘れないよう 数の範囲の因数 ら x= -3(y-1)±√9(y-1)2-4(2y2-5y+k) 2 ==3(y-1)±√y2+2y+9-4k の形に表されるということである。 恒等式の性質を利用(検討参照) してもよいが、 こ そこでは,与式を2次式とみたとき, = 0 とおいたxの2次方程式の解の1 次式でなければならないと考えて、その値を求めてみよう。 ポイントは、解がの1次式であれば、解の公式における内がりについての完 平方式(多項式)”の形の多項式] となることである。 P=x2+3xy+2y2-3x-5y+k とすると P=x2+3(y-1)x+2y2-5y+k P=0をxについての2次方程式と考えると、解の公式か x”の係数が1であるか ら,xについて整理した 方がらくである。 2 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 e: と この1=12-(9-4k)=4k-8=0 ゆえに k=2 4 里の因数分 _-3(x-1)+√(+1) -3y+3±(y+1) (y+1)^=ly+1|であ = による。 このとき x= 2 すなわち x=-y+2, -2y+1 ないよう よってP={x-(-y+2)}{x-(-2y+1)} =(x+y-2)(x+2y-1) +x(1+28)るが、土がついているか ら,y+1の符号で分け る必要はない。 (p+4)=(0- 恒等式の性質の利用 検討 2 この2つの解をα, β と すると, 複素数の範囲で はP=(x-α)(x-β) と因数分解される。 Pがx,yの1次式の積に因数分解できるためには,この 解がyの1次式で表されなければならない。 よって,根号内の式y2+2y+9-4kは完全平方式でなけれ 完全平方式 ばならないから, y2+2y+9-4k=0 の判別式をDとする ⇔=0が重解をもつ ⇔判別式 D=0 ると, 1 いない (1)x2+xy-6y-x+7y+k x2+3xy+2y2=(x+y)(x+2y) であるから,与式が x, yの1次式の積に因数分解できると すると,(与式)=(x+y+a)(x+2y+b) ① と表される。 ...... ①は,xとyの恒等式であり, 右辺を展開して整理すると (与式)=x2+3xy+2y2+(a+b)x+(2a+b)y+abとなるから, 両辺の係数を比較して a+b=-3,2a+b=-5,ab=k これから,kの値が求められる。 い 歌の 8A 10-1-x+(8-x)(ローズ) 練習 次の2次式がx,yの1次式の積に因数分解できるように、定数kの値を定めよ。 ③ 47 また,その場合に,この式を因数分解せよ。 (8-8) (2) 2x2-xy-3y²+5x-5y+k

5の解き方について教えていただきたいです

3 5 2次方程式 x2-7x-1=0 の2つの解をα, βとするとき, 次の2数 を解とする2次方程式を1つ作れ。 (1) 22 a' B s a², ((2) a2.B2と

数学　数列　場合の数 ⑶が分からないので教えていただきたいです。 ⑵まではできました。 追記） 画像2枚目の赤線のところの式は、どこから出てきましたか？何を意味する式なのか分かりません…

n J 例題16 クイズ大会を行った。 ○×で答えるものとし, 2問続けて間違った ら失格とする。”問目で失格となる○×の出方の総数をamとする。 ((1) 06, αを求めよ。 (2)1問目が◯で, 8問目で失格する場合は何通りか。 また1問目が×で 8問目で失格する場合は何通りか。 (3) α が満たす漸化式を作り, a を求めよ。 解答 (1) 65, a=8 (2) 1問目が○・・・8通り 1問目が×・・・5通り (1+√5-(1-√5) 2 (3) an = 2 √5 TT HJ!

この問題の答え方は、ax²+bx+cの形じゃないとダメなのですか？

標準 (2) 2次関数y=2x2のグラフをx軸方向に3, y 軸方向に4だけ平行移動させると、 y= 2(x-3)²-4 y+4=2(x-3)2 y= のグラフになる。

波線部について質問です｡なぜ＞＝なんですか？二つの解とあるので，＞ではないんですか？

基本例題 52 2次方程式の解の存在範囲 ①①① 2次方程式 x2-2px+p+2=0 が次の条件を満たす解をもつように、定数の 値の範囲を定めよ。 (1)2つの解がともに1より大きい。 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 /p.87 基本事項 2 89 指針 2次方程式x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとする。 2章 解と係数の関係、解の存在範囲 (1) 2つの解がともに1より大きい。→α-1>0 かつβ-1> 0 (2)1つの解は3より大きく、他の解は3より小さい。 →α-3と β-3が異符号 以上のように考えると, 例題 51と同じようにして解くことができる。 なお, グラフを 利用する解法 (p.87 の解説) もある。これについては、 解答副文の別解 参照。 2次方程式 x2-2px+p+2=0の2つの解をα,βとし, 判別解 2次関数 解答 別式をDとする。 4 =(− p)² - (p+2)= p²-p−2=(p+1)(p−2) 解と係数の関係から a+β=2p, aβ=p+2 (1) α>1,β>1であるための条件は D≧0 かつ (α-1)+(β-1)>0 かつ (α-1) (B-1)>0 D≧0から よって (p+1)(p-2)≥0 p≤ -1, 2≤p ...... ① (α-1)+(β-1) > 0 すなわち α+β-20 から 2p-2>0 よって>1 ...... 2 (α-1) (B-1)>0 すなわち αβ-(a+β) +1 >0から で p+2-2p+1>0 よって <3 ③ 求めるかの値の範囲は,①,②, ③の共通範囲をとって f(x)=x2-2px+p+2 のグラフを利用する。 (1) 12/27=(p+1) (p-20 軸について x=p>1, f(1)=3-p>0 から 2≦p<3 YA 3-1 x=py=f(x) + α P B x 0 1 2 -①- (2)(3)11-5p<0から 123 P p>. 11 5 <題意から α =βはあり えない。 2≦b<3 (2) α <β とすると, α<3 <βであるための条件は (α-3) (B-3) < 0 すなわち αβ-3 (a+β)+9<0 ゆえに p+2-3・2p+9 < 0 よって p> 5 練習 2次方程式 x 2-2(α-4)x+2a=0が次の条件を満たす解をもつように定数αの値 52 の範囲を定めよ。 (1) 2つの解がともに2より大きい。 (2)2つの解がともに2より小さい。 (3)1つの解が4より大きく, 他の解は4より小さい。 p.91 EX 34

次の問題は青いところを暗記するものなのでしょうかそれとも最初から導出？するものなのでしょうか？どなたか解説お願いします🙇‍♂️

a=3+4i, β=1+3i とするとき,原点0と点A(α) を通る直線に関し て点B(β) 対称な点 C を表す複素数を求めよ。 思考プロセス 段階的に考える I. 対称軸が実軸と なるように回転 II. 実軸に関して対称 III. I と逆の回転移動 y y▲ YA B_ A(a) B. A(α) C -B' ●B' 0 0 l' x l' x C' x C' Action》 線対称は,対称軸が実軸に重なるように回転して共役複素数をとれ 解αの偏角を0とすると a= =|a| (cos0+isin 0 ) y また a=|a|{cos(-9)+isin(-0)} よって, 点Bを原点を中心に だけ回転した点を B'(B') とすると 34 a 0 -0. a B' =β{cos(-8) +isin(0)} A 1 =β-- a C a B' 点 B' を実軸に関して対称移動し た点をC'(y') とすると C' 点と点は実軸に関 して対称の位置にある。 y' = B' = a B 1 点C(y) は点C'を原点を中心にだけ回転した点であるか ら y=y' (coso+isin0)=y'. a a = 1 1 Tal 3+4i 1 1 a -aB a = B = B 2 a² = aa a a a 13 9 = ·(1-3i) = + i 3-4i 5 5 Point 複素数平面における線対称 複素数平面上の点A(a),B(β) に対して, 直線OAに関して点B の対称点をC(y) とす a ると r = B a また, arga = 0(0≦0/2z) とすると y= (cos20+isin20) β (問題 54 参照)

下線部の5:1はどこから出てきたのですか？

Pを考える. つ(β)を消して でてきます. し 字を消して 158 軌跡 (Ⅱ) △ABCと点Pがあり PA+2P+3PC=kCB (k:実数)……① をみたしているとき,次の問いに答えよ. (1) AP を k, AB, AC で表せ. (2)PがABC の内部にあるときのんの値の範囲を求めよ. 245 (2)(1) A=mAnAC型に変形しましたが,このとき, 点Pが△ABCの内部にあるための条件は,「m>0,n>0, m+n<1」 です.これは,しっかりと覚えておきましょう. 解答 (1) 1より -AP+2(AB-AP)+3(AC-AP)=k(AB-AC) :: 6AP=(2-k)AB+(k+3)AC :: AP= 2-AB+4 6 k+3- PAC 6 (2) 点Pが △ABCの内部にあるとき O 6 6 2- > 0, k +3 > 0, 2-k + k +3 <1 6 6 -3<k<2 m>0.n >0. m+n<1 注 始点をCに変えると, 演習問題 158の形になります. ポイント OP=mOA+nOB と表される点Pが △OAB の周, および内部にある ~m≧0,n≧0m+n≦1 1においを (1) CP を CA, CB, k で表せ. M>OMO mths (2) 点PがABC の周, および内部にあるようなkの値の範囲を 演習問題 158 +2β=1) と 求めよ. 第8章 3 2-CA- A CB ( (84) 6 → 1219-01148 2-6202-4-

次の問題で青線の移行がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

思考プロセス a=3+4i,β=1+3i とするとき, 原点と点A(α) を通る直線に関し 点B(β) 対称な点 C を表す複素数を求めよ。 段階的に考える I. 対称軸が実軸と なるように回転 II. 実軸に関して対称 III.Iと逆の回転移動 YA y B. A(a) B. A(a) •C B' 0 l' x B' l' x C' x C' Action》 線対称は, 対称軸が実軸に重なるように回転して共役複素数をとれ 解 αの偏角を0とすると a = |a|(cos0+isin0) a また a=|a|{cos(-0)+isin(-0)} よって, 点Bを原点を中心に0 だけ回転した点を B'(B') とすると B' =β{cos(-8)+isin(0)} 31 a A B. C a | a | B' 点 B' を実軸に関して対称移動し た点をC'(y)) とすると 1 r' = B' = Tal aB x 1点zと点 z は実軸に関 して対称の位置にある 点C(y) は点C' を原点を中心にだけ回転した点であるか ら y=y'(cos+isin0) = y'. 1 1 = ab a= a a 3+4i == (1-3i): = 3-4i 1 √ a a 1 | α / 2 a² B 13 + 5 9 i 5 = B | a |² = a a