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基礎問
96 接線の本数
曲線 C:y=x-x 上の点をT(t, ピーt) とする.
(1)点Tにおける接線の方程式を求めよ.
(2)点A(a,b) を通る接線が2本あるとき,a,bのみたす関係式
を求めよ.ただし,a>0, b≠α-a とする.
(3)(2)のとき、2本の接線が直交するようなa, 6の値を求めよ.
精講
(2) 3次関数のグラフに引ける接線の本数は,接点の個数と一致し
ます. だから、(1)の接線にA(a, b) を代入してできるtの3次方
程式が異なる2つの実数解をもつ条件を考えますが、このときの
考え方は 95 注で学習済みです。
(3) 未知数が2つあるので, 等式を2つ用意します。
1つは(2)で求めてあるので, あと1つですが, それが 「接線が直交する」
を式にしたものです.接線の傾きは接点における微分係数(34) ですから、
2つの接点における微分係数の積=-1 と考えて式を作ります.
解答
(1) f(x)=x-x とおくと, f'(x)=3x²-1
よって, Tにおける接線は,
y-(t-t)=(3t-1)(x-t)
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y=(3t2-1)x-2t3
(2)(1) の接線は A(a, b) を通るので
b=(3t2-1)a-2t3
:. 2t-3at2+a+b= 0 …………(*)
(*) が異なる2つの実数解をもつので,
g(t)=2t-3at2+α+b とおくとき,
y=g(t) のグラフが,極大値, 極小値をもち,
(極大値)×(極小値) =0であればよい.95 注
g'(t)=6t2-6at=6t(t-a)
g'(t)=0 を解くと, t=0, t=α だから
y=x-x|
(t,t³-t)
A(a,b)
