基本 例題 85 2次関数の最大取
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直角を挟む2辺の長さの和が20である直角三角形において, 斜辺の長さが最小
の直角三角形を求め、その斜辺の長さを求めよ。
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TESTERYE
指針> まず、何を変数に選ぶかであるが,ここでは直角を挟む2辺の和
が与えられているから,直角を挟む一方の辺の長さをxとする。
三平方の定理から、斜辺の長さは√f(x) の形。
そこで,まず = f(x) の最小値を求める。
なお,xの変域に注意。
解答
直角を挟む2辺のうち一方の辺の長さを
xとすると,他方の辺の長さは20-x
で表され, x>0, 20-x>0 であるから
①
0<x<20
斜辺の長さを1とすると, 三平方の定
理から 12=x2+(20-x)2
......
CHART f(x) の最大･最小 平方したf(x) の最大・最小を考える
400g
200
0
最小
10 20 x
=2x2-40x+400
=2(x-10)'+200
①の範囲で, l'はx=10で最小値200をとる。
このとき、 他方の辺の長さは
20-10=10
>0であるから, が最小となるときも最小となる。
よって, 求める直角三角形は,直角を挟む2辺の長さがともに
10の直角二等辺三角形で、斜辺の長さは /200=10√2
検討 f(x)の最小値の代わりにf(x) の最小値を考えてよい理由
上の解答は, a>0,6>0のとき
yA
a<b⇒a²<b²
が成り立つことを根拠にしている (数学ⅡIで学習)。
このことは, 右の図から確認することができる。
なお,a<0,6<0のとき水は成り立たない。
変数xを定め、 xが何であ
るかを書く。
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基本84
1辺の長さは正であることを
利用してxの変域を求める。
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にはxの2次式。→基本
形に直してグラフをかく。
グラフは下に凸,
軸は直線x=10,
頂点は点 (10,200)
a²
√x+(20-x^2
20-x
O
y=x2
の断りは重要。
小 大
abx
