基本 例題 81
複素数の絶対値と共役複素数 (1)
425
00000
|z|=1 かつ |z+il = √3 を満たす複素数zについて, 次の値を求めよ。
(1) スズ
CHART & SOLUTION
複素数の絶対値
(1) zz=|2|2
え
(3)p.41 基本事項 3|,4|
||||として扱う |a|=aa
(2) (z+i)(z+i)=z+iの利用。
(1)(2)の結果から,zについての2次方程式を導き,解く。
別解 z=a+bi(a,bは実数)とおき,a,bの値を求める。
答
(1)zz=|z|2=12=1
(2)|z+il=√3から
......
+
2+1=3
よって
(z+i)(z+i)=3.
すなわち
(z+i)(-i)=3
展開すると zz-iz+iz+1=3
zz=1 を代入して整理すると
i(z-z)=-1
よってzz==
=i
2
(3) z≠0 であるから, (1) の結果より
2=
12
これを (2) の結果に代入して
両辺にを掛けて整理すると
01
z-=i
z2-iz-1=0
よって (2-1/2)-(+)-
\2
-1=0
8
\2
==
ゆえに12-27 すなわち 12
3
i
√3
=±
2
√3
13
-
したがって
+
z=
2
2
(別解
←lz+i=(z+i) (z+i)
←z+i=z+i=z-i
←i=-1
← | z|=1から z=0
|2|=1のとき,
2= =1 の関係はよく利
え
用される。
z=a+bi (a,bは実数) とおく。
z=a-bi であるから
z-z=a+bi-(a-bi)=2bi
(2) より zzi であるから
b=
b = 1/13
2
また, |z|=1であるから
a2+62=1
b=1/2 を代入して a2=242
3
+√3
よって
a=±
28-
したがって
√3
3
2
+
-i,
+
2
2
2
「α 6 は実数」の断りは
重要。
<=2bi=i
|z²=a²+b²
$8
JEJ
3
