0000
広めよ。
めよ。
(2)東京電機大
245 246 重要 257
係系に注意
YA
2
151 BA
基本
251 3次曲線と接線の間の面積
「もの面積Sを求めよ。
393
00000
曲線y=x-5x2+2x+6とその曲線上の点(3, -6) における接線で囲まれた図 |
指針
面積を求める方針は
1
グラフをかく
・基本 248 250 重要 252
2 積分区間の決定
③上下関係に注意
また、積分の計算においては,次のことを利用するとよい。
本間では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。
3次曲線y=f(x)(x3の係数がα) と直線y=g(x) がx=αで接するとき、等式
f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β) が成り立つ。
y=3x²-10x+2であるから, 接線
の方程式は
解答
ERUT SU
(-6)=(3・32-10・3+2)(x-3)
曲線 y=f(x) 上の点
(α, f(a)) における接線
の方程式は
y-f(a) f'(a)(x-a)
0
すなわち
y=-x-3
3
0
x
2
線の概形について
_342 参照。 ここで
値を求める必要は
この接線と曲線の共有点のx座標
は,x-5x2+2x+6=-x-3の解
である。
-6
これからx-5x2+3x+9=0(*)
ゆえに (x-3)(x+1)=0
よって
x=3,2-10
y=x-4xにつ
=x(x+2)(x-2)
由との交点のx座
x=0, ±2
線 y=3x2 は原点
する, 下に凸の放
したがって図から,求める面積は
S={(x-5x2+2x+6)-(-x-3)}dx
=S(x-3)(x+1)dx
左辺が (x-3) を因数に
もつことに注意して因数
分解。
1-5 3 93
3-6 -9
1 -2 -3
23 1
33
03
1 1 0
(
7
7章
回新
=S,(x-3)"{(x-3)+4}dx=S{(x-3)"'+4(x-3)")dx(xa)(x-3)
x-
4
13
313
-3) 3-
+4
3
-1
-64+-
==
256 64
3
=
=(x-2)^{(x-2)-(B-α)}
3
f(x-a) dx=
(x-a)*+1
n+1
+C
m
積
