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KEN-KB GE
重要 例題196 2 変数の不等式の証明 (2)
0<a<bのとき、不等式√ab <
her
解答
不等式の各辺をα (0) で割って
指針 2変数の不等式の証明の方法には, 前ページの検討の [1]~[6] の方法が考えられるが、こ
b
b
の問題では logb-loga=logに注目し,
=tのおき換えの方針でいく。
a
不等式の各辺をa(>0)で割って
ゆえに,各辺の逆数をとって
logに〇だから/aくんから
各辺に t-1 (>0) を掛けて
内だと
のになる
t-1
f(t) == -logt とすると
√ t
t>1のとき
f'(t) = -
g(t)=logt-
t>1 のとき
1
1
2√√t
2t√t
f (1) = 0 であるから, t>1のとき
g'(t) =
+
2(t-1)
t+1
2(t-1)
t+1
t
t (t+1)²
b
Va
とすると
b-a
a+b
2
log b-loga
b
b a
<
a
b
a
b
log- a
b.
=tとおくと, 0<a<bであるからt>1で、不等式①は、<1-11
a
logt 2
t>1のときlogt>0であるから,各辺は正である。
2_logt 1
<
t+1 t-1
<logt<
f(t)=√F-11-logt
=
log|
-1
t-1
...
-1
b
a
1_t+1-2√t__(√F-1) ²
2t√ t
<
らい
g(t)=logt-2+
おき換えに利用
1+
in.b
1+
t+1
が成り立つことを示せ。
[岐阜大] 重要 195
2
A
->0
4 (t+1)2-4t_t2-2t+1_(t-1)2
t(t+1)²
b
a¨¨¨
2
2t√t
f(t) > 0 すなわち log<
a
t(t+1)2
t(t+1)²
g (1) = 0 であるから,t>1のとき g(t) > 0 すなわち
1
√t <1
logt
t-1
√t
pr
<p,g,r, s が正のとき
と同値。
t+1
2
POCEN
よく
f(t) は単調増加。
30 (3) Jel
24
2t-1)_2(t+1)-4
s g
->0
2(t−1)
t+1
<logt… ③1
よって, ②, ③ により, 不等式 A が成り立つから与えられた不等式は成り立つ
t+1
<g (t) は単調増加。
AES
