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数学 高校生

⑵の下線部で、なぜ矢印で示したような変形ができるのか教えてください。

え方で表せ。 る△OAB 学Ⅰ) う求める。 B 7 18 次の不等式を証明せよ。 ベクトルの不等式の証明 (1) -lallbl sa b≤la|lb| ANAL OF >> (1) 内積の定義a.b= a||6|cos0 (0) は, ものなす角)において、-1≦cos0≦1で あることを利用。 ベクトルの大きさについて |≧0であることに注意する。 まず、16116を示す。左辺、右辺とも以上であるから、 A≧0, B≧0のとき A≦B⇔A'sB [1] = 0 または T=1のとき 46=0 ||||=0 であるから であることを利用し, la +6≦ (la +16) を示す。(右辺) (左辺)≧0を示す過程で は,(1) の結果も利用する。 次に,|a|-|6|≦a +6 | の証明については,先に示した不等式 la +6≦la | + 16 | を利 JIAH 用する。 43-713, 2011 17:54 (2) lal-lolsá+b|≤|a|+|b| -|a||5|=a・1=|a||8|=0 かつちのときab= [2] ¥0 かつ 0 のとき a 1のなす角を0とすると +601810-15-4 a b=alb|cos 0°180°より, -1≦cos≦1であるから -lä|||≤|a||b|cos 0≤|a||| ①から -la||b|≤a·b≤|a||b| [1]. [2] 5-lab≤ä·b≤ä||b| (2) (lal+16)²-la+b1² (2x = lal²+2|ā||b|+|bľ² − (lä ³²+2à·6+161²) 12=2(|||b|-à-b) ≥0 ゆえに 10 +16 ≧0.1 +1≧0から la+b≤(a+b))² よって ゆえに ②③から |ã+b|≤|ā|+|ỗ| ·· 2 ② において, a を at を 一言におき換えると |a+b-b|≤|ã+b|+|-bl +6 +161 asa (3) |a|-|b|≤|ã+6| 3216- p.399 基本事項 ① lal-bl≤la+b|släl+161 別解 (1) a=0のとき、明ら かに成り立つ。 a=0のとき ta+部 ≧0 すなわち t²la²+2ta 6+16²20 A はすべての実数tについて成 り立つから, (A の左辺) = 0 の判別式をDとすると, a>0 より D≦0 1/72=(62-1から -|al|b|≤a-b≤|al|b| 125.21 検討 la +6 | <||+|6|は三角形 における性質「2辺の長さの 和は、他の1辺の長さより大 きい」 (数学A) をベクトル で表現したものである。 B a+b M 126-1-102 A b |a+b|<|a|+|b| OB<OA+AB 40g

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数学 高校生

(2)どうしてa-bに置き換えて証明できるのかわかりません 教えてください🙇‍♀️

不等式の証明 (絶対値と不等式) 本 例題 29 次の不等式を証明せよ。 (1) |a+b|≤|a|+|b| CHART & THINKING 似た問題 1 結果を使う (1) 絶対値を含むので、このままでは差をとって考えにくい。 |A=A2 を利用すると,絶 対値の処理が容易になる。 よって, 平方の差を作ればよい。 (2) |a|-|6|≦|a-bl 2 方法をまねる (2) 証明したい不等式の左辺は負の場合もあるから,平方の差を作る方針は手間がかかり そうである (別解 参照)。 そこで, 不等式を変形すると |a|≦la-61+16 ← (1) と似た形になることに着目。 ① の方針で考えられそうだが,どのように文字をおき換えると (1) を利用できるだろうか? 解答 (1) (|a|+|6|-|a+b=(|a|+2|a||3|+|6)-(a+b)² =2(|abl-ab)≧0 =a²+2|ab|+62-(a²+2ab+b2) よって ...... よって la+b≤(al+|b|) ² |a+b≧0,|a|+|6|≧0であるから |a+6|≦|a|+|6| 別解 demo da -10|≧0≦|6| であるから lal≦a≦lal, 辺々を加えて -(al+161)≦a+b≧|a|+|6| |a|+|6|≧0であるから la +6|≦|a|+|6| (2) (1) の不等式の文字αを a-b におき換えて |(a−b)+b|≤la-b|+|b| p.42 基本事項 4. 基本 28 よって |a|sla-61+101 ゆえに |a|-|6|≦la-6| 別解 [1] [a|-|6|<0 すなわち |a|<|6| のとき ④の等号が成り立=2(−ab+lab)≧0 (|a|-|6|)2≦|a-6|2 4+ |a|-16|≧0,|a-b≧0であるから |a|-|b|≤la-bl inf. A≧0 のとき (1) |-|A|≦A=|A| 0 |-|A|=A<|A| であるから,一般に |-|A|A|A| 51 更に,これから |AI-A≧0,|A|+A≧0 30 1= x≤-c, c≤x |x|c 1章 c≧0 のとき -c≤x≤c |x|≤c ←②の方針 |a|-|6|が負 (左辺) <0, (右辺) > 0 であるから不等式は成り立つ。 の場合も考えられるの [2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|6|のときで,平方の差を作るには 場合分けが必要。 la-bl²-(lal-1b)²=(a−b)²(a²-2|ab|+6²) inf. 等号成立条件 (1) は(*)から, labl=a 4 等 すなわち, ab≧0のとき よって, (2) は (a-66 ゆえに (a-b≧0かつ または (a-b≦0かつb すなわち ab≧0 まな a≦b≧0のとき。

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