例題6| 導関数を含む等式
zの整式で表される関数f(x) が, 等式 2f'(z)- (2.r-1)f(r)=1 を満たすと
する。次の問いに答えよ。ただし, f(z) は定数関数ではないとする。
(1) f(z)の次数を求めよ。
(2) f(x) を求めよ。
(指針)(1) f(x)の最高次の項をar" (aキ0) として, nの値を定める。
解答] (1) f(z) の次数を n (n>1) とし, その最高次の項を az" (aキ0) とすると,
等式の左辺の見かけの最高次の項は
.anz"-1-2.r.ar"
すなわち
(n-2)az"+1
等式の右辺は1であるから
n-2=0
よって,n=2 となるから,f(z) の次数は2 答
(2) f(z)は2次関数であるから, f(x)=ar°+br+c(aキ0) とおける。
f'(x)=2ar+bであるから, 与えられた等式は次のようになる。
°(2ar+6)-(2.r-1)(ar°+bx+c)=1
(a-b)z?+(b-2c).r+(c-1)=0
整理すると
これがェの恒等式になればよいから
a-b=0, b-2c=0, c-1=0
ゆえに
a=2, b=2, c=1
(これは,aキ0 を満たす)
したがって
f(x)=2r°+2.c+1 答
*82 xの整式で表される関数f(x) が次の条件を満たすとする。このとき, f(x)
を求めよ。
(2.r+1)f(z)-4f (z)=D-3, f(-1)=1
