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例題 76 方程式 x33x29x+a=0が異なる2つの正の解と1つの負の解をもつように、定数a
の値の範囲を定めよ。
解答 方程式を変形すると
-x3+3x2+9x=a
方程式の実数解は, 関数 y=-x3+3x2+9x
のグラフと、直線y=a
......
f(x)=-x3+3x2+9x とすると
①
②の共有点のx座標である。
f'(x)=-3x2+6x+9=-3(x+1)(x-3)
①
(
.198
(1+0
x
-1
3
f'(x)
0 + 0
P
f(x) \ -5 27 \
小値1をとる。
よって, 関数 ① のグラフは右の図のようになる。
27
.................
-5
4
の
求めるαの値の範囲は, 関数 ① のグラフと直線 ②が
x>0で異なる2点で交わり, x<0で1点で交わる範囲であるから
0<a<27
No.196 P