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基本例題 18 万有引力による位置エネルギー
98,99 解説動画
地球の表面から速さで鉛直上方に物体を発射したとき, 到達する最大の
高さんを考える。 地球の半径をR, 地球上での重力加速度の大きさをgとする。
(1) 万有引力による位置エネルギーを考え, vo を g, R, hで表せ。
(2)がRに比べて十分に小さいとき, v はどのように表されるか。
tvo
(3) vo を大きくすると, 物体は地球上にもどらなくなる。 このとき,
v はいくら以上にすればよいか。 g, R で表せ。
指針 万有引力定数G, 地球の質量Mが問題文に与えられていないので, 「GM=gR2」を用いて
g, Rで表す。
解答 (1) 物体の質量をmとする。 力学的エネルギー保存則より
2
— — mv,² + ( − GMm² ) = 0 + ( −
R
2)=0+ (-
G
Mm
R+h
) (G: 万有引力定数,M:地球の質量)
12m²=GMm
GMm
GMm
=
R
R+h
R
(1
R
GMm R+h-R_GMm h
R+h/
R
R+h R R+h
ここでGM=gR2 より 1/12m2.m
gR2m
h
2gRh
=
•
よってv=
R R+h
R+h
h
(2)んがRに比べて十分に小さいとき,
2gRh
2gh
≒0 より
Vo=
R
==
VR+h
≒√2gh
h
1+
R
(3) 地球上にもどらないようにするには, んが無限遠であればよい。
このとき, ≒0より
=
h
Vo=1 VR+h
R
2gRh 2gR√2gR
+1
h
