基本 例題125 2次方程式の解と数の大小 (1)
|2次方程式x-2(a+1)x+3a=0が, -1<x<3の範囲に異なる2つの実数解を
指針>p.192, 194 で学習した放物線とx軸の共有点の位置の関係は, そのまま 2次方程式の解
注意[1]の(*)のように, aの値に関係なく, 常に成り立つ条件もある。
195
OOO0
もつような定数aの値の範囲を求めよ。
【類東北大)
基本 123,124
重要127」
と数の大小の問題に適用することができる。
すなわち,f(x)=x-2(a+1)x+3aとして
2次方程式f(x)=0が-1<x%3で異なる2つの実数解をもつ
→放物線 y=f(x) がx軸の -1ハx\3の部分と,異なる2点で交わる
したがって D>0,-1<軸<3, f(-1)20, f(3)N0 で解決。
3
CHART 2次方程式の解と数kの大小 グラフ利用 D, 軸, f(k)に着目
1
解答
この方程式の判別式をDとし,f(x)=x°-2(a+1)x+3aとす
る。方程式 f(x)==0 が -1<x<3の範囲に異なる2つの実数
解をもつための条件は, y=f(x) のグラフがx軸の-1<x%3
-1<軸く3
エ
の部分と,異なる2点で交わることである。
したがって,次の[1]~[4] が同時に成り立つ。
[2] -1<軸く3
[4] f(3)20
!ON a+1
-1
3
x
13f(-1)20
-(-(a+1)}}-1-3a=a"-a+1=(a-→)+
4
よって, D>0は常に成り立つ。
12] 軸は直線x=a+1で, 軸について
-1<a+1<3 すなわち -2<a<2
[3] f(-1)20 から
の
0(8-0-)(8-
(-1)。-2(α+1).(1)+3a20
ゆえに
5a+320 すなわち az-
3
5
(4] f(3)20から
3°-2(a+1)-3+3a20
ゆえに
-3a+320
0<@
すなわち as1
0, 2, 3の共通範囲を求めて
-3
-2
2
3
5
a
Sas1
5
