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基本 例題 98
曲線上の動点に連動する点の軌跡
DACTICE (木) 98 thehet
1
00000
点Qが円x+y=9 上を動くとき, 点A(1,2) とQを結ぶ線分AQ を 2:1
に内分する点Pの軌跡を求めよ。
CHART &
SOLUTION
連動して動く点の軌跡
p.158 基本事項 1
つなぎの文字を消去して、
x
yだけの関係式を導く
......
動点Qの座標を (s, t), それにともなって動く点Pの座標を (x, y) とする。 Qの条件を s,
を用いた式で表し, P, Qの関係から, s, tをそれぞれx, yで表す。 これをQの条件式に
代入して,s, tを消去する。
解答
Q(s, t), P(x,y) とする。
x+y=9上の点であるから
Pは線分AQ を 2:1 に内分する点であるから
s2+t2=9
13
①
(s, t)
2-
A
1・2+2t
2+2t
Q
(1,2)
3 -, y=
2+1
3
-3
0
1・1+2s 1+2s
x=
2+1
よって
s=3x21.t=3v22
2
●これを①に代入すると (321)+(3x-2)=9
ゆえに
(12/21)+(1/2)=9
よって(x-1)+(y-22-4
=4 ...... ②
したがって, 点Pは円 ②上にある。
逆に円 ②上の任意の点は,条件を満たす。
以上から、 求める軌跡は
中心
2)
3'3'
半径20円
P(x,y)
つなぎの文字 s, tを消
去。 これによりPの条
件(x, yの方程式)が得
られる。
inf. 上の図から,点Qが
円 x2+y^2=9上のどの位
置にあっても線分AQ は
存在する。 よって, 解答で
求めた軌跡に除外点は存在
しない
POINT 曲線 f(x, y) = 0 上の動点 (s,t) に連動する点(x, y) の軌跡
① 点 (s, t) は曲線 f(x, y) = 0 上の点であるから f(s, t)=0
② s, tをそれぞれx, y で表す。
③ f(s, t)=0に②を代入して, s, tを消去する。
RACTICE 982
放物線y=x2
① とA(1,2), B(-1, -2), C(4, -1) がある。
点Pが放物線 ①上を動くとき、次の点Q, R の軌跡を求めよ。
(1) 線分APを2:1 に内分する点Q
(2) △PBCの重心R
