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14 不等式の証明/拡張した形
2
(ア) (1) yが実数のとき,
(2) a, b, c が実数のとき,
4
a2+262+c2
であることを証明せよ。
a+26+c\2
)².
であることを証明せよ。
d = === (20
(イ) (1) ||<1, |y|<1のとき,y+1>x+yを証明しなさい。
(立命館大文系)
(2) また,(1)を用いて,|x|<1, |y|<1, |z|<1のとき,ryz+2>x+y+zを証明しなさい。
(岐阜経済大)
(1)を活用する (2) が (1) を拡張したような形の式を証明するときは,(1)を利用して (2) を示
すことをまず考えよう 本間 (ア)の場合,26262+62, (イ)の場合, ryz (ry) zとして,(1)に結び
つける.
b²ect
+
2
a2+2bc
解答
(a+b2
4
(7) (1) (1)-()==1{2(x²+ y²)-(x+y)²}=(xy)²≥0
となるから, 証明された.
1/42+62
(左辺)=
2
2
(2) (1)の不等式を用いると,
(1)-(a+b+c)=(a+b)²+(b+c)"}
2
b² + c² ) = {( a + b )² + (b + c ) ³ }
2
120++9+20)
(1)の不等式は,
2
4
[答] []]]
O+2)
ということ.
a+b
b+c 12
なお, (2) は, 平方完成で直接
2
2
a+26+c\2
I=
_a+b
2
y=
2
btcとして
2
示すこともできる.
4
【 (1) を利用
16{(左辺) (右辺)
(イ) (1) (左辺) (右辺) =ry-x-y+1
となるから, 証明された.
=(x-1)(y-1)>0 (z <1,y<1だから)
(2) w=ry とおくと, |x|<1, |y|<1により,|w|<1である. よって,
(1)を用いると, wz+1>w+z :.xyz +1>xy+z
各辺に1を加え,ryz+2>(ry+1) +z
右辺に(1) を使い, ryz+2> (xy+1)+2>(x+y+z
となるから, 証明された .
=4(α² +262+c²)-(a+26+c)2
=34²+462+3c2
-4ab-4bc-2ca
=462-4(a+c)b
+342-2ac+3c2
=4(6-a+c)²+2(a-c)²≥0
b-
14 演習題 (解答は p.29)
(ア) p, g, r をいずれも正数とする.
(1) XY-X-Y + 1 を因数分解しなさい.
(2) 2+2-2と2+1の大小を比較しなさい。
(3) 2+2+2-3 と 2D+q+r-1の大小を比較しなさい.
(イ) 次の(1),(2)を証明せよ.
y
(1) 12у2003, 1+1+
1m
(龍谷大文系)
(ア) (3) では,
2+q+r=2(p+q)+と見る.
(イ) 一般に.
|a|+|6|≧|a+b
|a+b| |a|+|6|
(2) すべての実数a, b について,
(岐阜聖徳学園大)
1+a+b1+|a|+|6|
が成り立つ.
21
