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基本例題157 三角関数の最大 最小 (4) ･･･t=sin+cos0 ①①00
関数 f(0) = sin20+2(sin0+ cos 0) - 1 を考える。 ただし, 0≦O<2πとする。
(1) t=sin0+cose とおくとき, f(0) を tの式で表せ。
(2) t のとりうる値の範囲を求めよ。
(3) f(0) の最大値と最小値を求め,そのときの0の値を求めよ。
415
指針▷ (1) t=sin+cose の両辺を2乗すると, 2sin cos 0 が現れる。
解答
(1) t = sin0+cose の両辺を2乗すると
(2) sin+cose の最大値 最小値を求めるのと同じ。
(3)(1) の結果から,t の2次関数の最大・最小問題 (t の範囲に注意) となる。よって、
本例題141 と同様に
2次式は基本形に直すに従って処理する。
0
ゆえに
したがって
t2=sin20+2sin Acos0+cos20
t2=1+sin20
よって
f(0)=t2-1+2t-1=t+2t-2
(2) t=sin0+cos0=√/2sin (0+4) ①
9
00 <2のとき,40+1
したがって
-15sin(0+)≤15
-√2 ≤t≤√2
(3) (1) から
f(0)=t2+2t-2=(t+1)²-3
-√2≦t≦√2の範囲において, f(0) は
t=√2で最大値 2√2, t=-1で最小値-3 をとる。
t=√2 のとき, ① から sin (0+4)=1
=1&
76ain
②の範囲で解くと
t=-1のとき, ① から
② の範囲で解くと
よって
π
0+ T
π......
・・・･･ ② であるから
π
4 2
0+
sin20=t2-1
π
5
4 4
Leben feue
EN
0=7のとき最大値2√2;
π,
1
sin (0+4)=-(+)nie
√2
$2
すなわち匹
0=1
4
; 0= π,
3
7
- すなわち0=π,
4
【sin²0+cos20=1
YA
O
基本13 14
【類 秋田
② : 合成後の変域に注意。
3
π
2
のとき最小値-3
√2
f(0)
2√2-1
-1
1
iO
最小
-3
1
