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①
異なる素数 p q r を用いて
以上より、nが最大となるのはn=12のときであ
り, n=12となるのは (i) より
23x32=72
25x3 = 96
(Ⅲ)より
22×3×5=60
22×3×7=84
2×32×5=90
であるから,全部で5個ある。
第5問
(1)
APC は, △APC を点Cのまわりに時計回り
に60° だけ回転移動した三角形であるから
したがって
AA'P'C=AAPC
AP = A'P'
B
C
(2)時計回りに回転移動する角が 60°のとき.
△ACAは正三角形となるから, AA' = AC は成
り立つ。しかし、時計回りに回転移動する角が 60°
でないときには,AA'ACは成り立たないこと
がある。
①④ 時計回りに回転移動する角の大きさによら
ず△APC APC であるから, AC = A'C,
CP=CPは成り立つ。
②③時計回りに回転移動する角が60°のときに
も, AP = AP', APPP'は成り立たないことが
ある。
A'D' LAB
であるから、APP ABPPは合同な正三角形
である。 よって
∠APB= ∠CQD=60°+60° = 120°
②
<BPP=60° より ∠APP=60°であるから
AP = BP=CQ=DQ
より
=1/AB
=
4√3
3
1
sin 60°
?
PQ=4-2BP cos60°=4-
AP + BP + PQ + CQ + DQ
4√3
-4 +4 - 4/3
3
=4+4√3
A
4√3
CP = CP
②
② および P'CP = 60° より, △PCPは正三角形
であるから
CP = PP'
③
よって、 ① ③より
AP + BP + CP = A'P′ + BP + PP′
④
A'
P
⑤ 時計回りに回転移動する角が 60°のとき,
△PCPは正三角形となるから, CP = PP'は成り
立つ。 しかし、時計回りに回転移動する角が60°で
ないときには, CP = PP' は成り立たないことがあ
る。
➡0, ⑤
(3) 次の図のように, ABP を点Bのまわりに反
時計回りに 60°回転移動した三角形を A'BP/
△DQC を点Cのまわりに時計回りに 60°回転移動
した三角形を DQO とする。
P
P
A'
B
B
-C
A'
点Pの位置が変化すると,それに応じて点P'の
位置も変化するが, 点Bと点 A' の位置は変化し
ない。
B
D'
よって, 2点P, P' が直線 A'B 上にあることが
あれば、そのときに AP + BP + CPは最小となる。
③
△PCPは正三角形であるから, 4点 A', P', P,
Bが一直線上にあるとき
∠BPC = 180°-∠P'PC = 120°
④
ここで, △ABC は鋭角三角形であり, 内角はすべ
120° よりも小さい。
したがって、点Pは確かに △ABC の内部にある。
(1)と同様に考えて
AP + BP + PQ + CQ + DQ
=AP + PP + PQ + QQ + QD]
であるから, 4点 P', P, Q, Q' が直線 A'D'上に
あるときに AP + BP + PQ + CQ + DQ は最小と
なる。
△PPB, QCQ' は正三角形であるから, 6点
A', P', P, Q, Q', D' が一直線上にあるとき
AAA'BADD'C
である。
さらに,正方形と正三角形の対称性より
-③-9-
