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87 直線 4x-3y=1 に平行な直線で,その間の距離が1であるような直線の方程式を求めよ。
直線 4x-3y=1 ･･･ ① に平行な直線を 4x-3y= k (kは定数) …②
とおく。
よって, α = 0 すなわち P (0, 1) のとき,点Pと直線AB の距離が最小
となり, ABP の画頃が最小となる。
2
このとき, ABP の高さは であり, 線分ABの長さは
√5
①と②は平行であるから, 2直線の間の距離は, 直線 ①上の点 (1, 1) 平行な2直線間の距離は
と直線②の距離に等しい。
どこをとっても等しい。
AB=√{1-(-1)}2+(-3-1)=2√5
よって, 求める面積は
よって, 2直線間の距離は
|1-k 1-k|
2
AABP =
==
・2√5. = 2
√5
|41-31-k|
√4°+(-3)"
√25
|1-k|
これが1に等しいから
= 1
5
すなわち
|1-k|=5
これを解くと k=-4, 6
②より, 求める直線の方程式
4x-3y+4=0,4
3y-6=0
90
三角形の3本の中線は1点で交わることを証明せよ。
•1-k= ±5 より
k = -4, 6
三角形の3つの頂点を A, B, C とする。
直線BC をx軸, 辺BCの中点を原点にとる。
A(a, b), B(-c, 0), C(c, 0) (c>0)
とし, AB, AC の中点をそれぞれM, Nとす
ると, これらの座標は
YA
A(a, b)
88 3 直線 2xy = 1, x-4y = -3, 3x+2y=19 でつくられる三角形面積を求めよ。
2x-y=1... 1, x-4y=-3 ... ②, 3x+2y=19 … ③ とする。
直線 ①と②の失点をAとすると A(1,1)
M(, ), N(a+c, b)
2直線 BN, OAの方程式は,それぞれ
(-c, 0)
O
(c, 0)
x
直線②と③の交点をB
B(5, 2)
と
まず, 3交点の座標を求
めておく。
2
{a+c_()}(v-0)=1
=(1/x=(c)・・・①
b
直線③と①の交点をCとする
3,5
(C (3,5)
(a-0)y=(b-···
このとき
②
h
BC=(3-5)+(52
13
B (5,2)
点A(1, 1) 直線 ③んとすると
<A(1,1)
|3.1 + 19
0
14
h =
32+22
/13
(3
よって
△ABC = 1
14
.BC.h=
13.
= 7
2
√13
a
b
x =
3, y=
すなわち, 1, ②点の座は
直線 CM の方は
3' 3
(ac)(v
-0)
△ABCの底辺と
考える, △ABCの高さ
はんとなる。
すると
a-3c
b
bc
y=
·x-
2
2
2
この直線は2直線 ①②の交点
a b
3'3
通るから, 3直線 BN, OA,
①,②を連立させて解く
a b
3
62
b
(x-c)
02
89 点A(-1, 1), B(1,3) とし, 放物線y=(x-1) 上の点をPとする。 このとき, ABPの
面積を最小とする点Pの座標を求めよ。 また, そのときの△ABPの面積を求めよ。
CMは1点で交わる。
ゆえに、三角形の3つの中線は1点で交わる。
線分ABを ABP の底辺としたとき,
点P と直線AB の距離が高さである。
点P と直線ABの距離が最小となるとき,
1
△ABPの面積は最小となる。
直線AB の方程式は
底辺AB の長さは決まっ
ているから,高さが最小
となれば, 面積も最小と
なる。
-3-1
y-1=
(x+1)
1+1
B
すなわち 2x+y+1=0
P(a, (a-1)^) とすると, 点P と直線AB の距離は
2.α+1(a-1)+1|
√√22+12
1
1
2
| +2|
=
a² +
√5
5
1 +2 > 0 より
|°+2| = a +2
