例題 2.6
(1) 方程式x=1の虚数解の一つをとするとき, w100 + w80 +1の値を求めよ.
50
(2)
n は正の整数とする。 多項式 x 27 + x + 1 は多項式 x ' + x + 1 で割り切れる
か.
【解答】
(1) x-1=0 より
は虚数であるから,
の解である.
よって,
また,
これより,
(2) f(x)=x2+x" + 1 とおく.
(1) のωに対して,
(x− 1)(x²+x+1)=0.
CITY
となる.
(ア) n=3k(k=1,2,3,...) のとき.
ω
x 2+x+1=0
w²+w+1=0.
100
=0.
0=(c) R
640 UBT 1+ 2+ ²x2(x)\\ 702
+ω+1
= 3.33+1 + w ´+1
=w+w² +1
w³ = 1.
3.16+2
=3.
よって, f(x)はx2+x+1で割り切れない.
w2+ω+1=0,
w³ = 1.
(1)
このとき, x2+x+1=(x-w²)(x-ω)と因数分解されるから,w'≠wに注意すると, f(x)
が x 2 + x + 1 で割り切れるための条件は,
f(w)=0かつf(w2)=0
f(w)=w2.3k+w3k+1
=(w²)2k+(ω^)*+1
=1+1+1 (①より)
(
39
