(ァ)のxの座標が1・r＋(ー1)・(4ーr)ってどういうことですか？🙇🏻

点の移動と反復試行の確率 基本例題 48 軸の正の方向に1だけ進み, 6の約数でない目が出たとき,Pはx軸の負の 方向に1だけ進むことにする。 さいころを4回投げたとき, 原点から出発し x軸上に点Pがある。 さいころを投げて, 6の約数の目が出たとき,Pはx た点Pが原点にある確率は, x=3の点にある確率はx=-2の ]である。 [ 関西学院大 ] 点にある確率はウ 329 基本事項 2. 基本47 CHART & SOLUTION 反復試行と点の移動 まず 事柄が起こる回数を決定 さいころを4回投げるとき,各回の試行は独立であるから,その 目の出方によって点Pを動かすことは 反復試行である。 4回の試行で、6の約数の目が出る回数をrとすると、点Pの x 座標は x=1.r+(-1)・(4) (r=0,1,2,3,4) 解答 さいころを1回投げたとき, 6の約数の目, すなわち 1, 2, 2 3,6が出る確率は 6 3 IS さいころを4回投げたとき, 6の約数の目が回出るとする と、点Pのx座標は x=1.r+(-1)(4-r)=2r-4 (r=0, 1, 2,3,4) (ア) x=0 のときであるから 2r-4=0 ELL よって r=2 SUCH Sia \4-2 ゆえに、求める確率は C (23) (/1/3)=12/27 8 (イ) x=3のときであるから 2r-4=3 これを満たす整数ヶは存在しない。 よって, 求める確率は 0 (ウ) x=-2のときであるから 2r-4--2 よって r=1 \4-1 ゆえに、求める確率は C (73) (1/3)=1/27 c. (²) 8 P RACTICE 48② 6の約数 でない -1 1 +1 6の約数 確率 1/31 確率 1/3 P 反復試行の確率 nCrp (1-p)n-r- 確率とnr をチェックする。 国民から観 $3257 <XOXL 38 6の約数の目が回出た とき6の約数でない目 は4-2回出る。 ACLAPET or= 7 2 Finf. (イ) さいころを4回 投げた後の点Pの位置は x=-4, -2, 0, 2, 400 ずれかであるから, x=3 となることはないため、そ の確率は0である。 XOX 基 C [C] 角

〰️の部分って、公式ですか？？💦導き方教えていただきたいです🙏🏻

502 基本例題 108 Sn を含む漸化式 数列{an} において,初項から第n項までの和Sn と an Sn=-2an-2n +5 の関係があるとき (1) 初項 α を求めよ。 (3) 数列{an}の一般項を求めよ。 CHART SOLUTION 和Snを含む漸化式 Sn+1-Sn=an+1, S1 = α1 を利用 ・・・・・・! (2) Sn=-2a-2n+5 でんの代わりにn+1とおいて, Sn+1 を求め Sn+1-Sn=an+1 を利用する。この等式は,n≧1で成り立つ。 解答 (1) S=α であるから, Sn=-2an-2n+5① において n=1 とすると a=-2a-2.1 +5 よって (2) ①から ゆえに ②① から ① Sn+1- Sn=an+1 であるから 2 よって 3 a₁ =1 Sn+1=-2an+1-2 (n+1)+5 -an-. Sn+1-Sn=-2an+1+2an-2 an=30 an+1=-2ax+1+20 2 3 a1+2=1+2=3 2 an+1=an an+2=30 3 1/60 2 (②2) as, an+1の2項間の関係式を求め、 皇學館大 ] n-1 2 d₁-²-3 +2an-2 を変形して an (3) an+1= また よって,数列 {a,+2} は,初項3,公比 1/3 の等比数列である。 2\n-1 ゆえに -2 ② の間に、 I-E 2 an+1+2= = (an+2) IGE I=₂ 1+ ■①のnn+1を代 基本 平面 n≧1で成り立つ。 2 2 a=²3-α-²/3 a=-2 上の を解くと るた CHL

〰️で引いてあるところの計算過程しりたいです！！🙏🏻

500 基本例題 106 an+1 = pan+g" 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 a₁-3, an+1=2an-3"+1 CHART O SOLUTION 漸化式 α+1=pan+g" (p≠1) ① 両辺を で割る n+1 2 ants_p, an t + 1 q q 「 五十 q" αn+1 p²+1 が ALORES REEDT /+1/(1) の形 335 bn=an の形 解答 an+1=2a-31 の両辺を 3 +1 で割ると また b. +3=1+3=12/23+3=4 -3- =1/27 とおくと bn+1=1/307-1 3″ これを変形すると bn+1+3=12/23(bn+3) 2② 両辺を”で割る・・ =cm とおくと bn+1= 2b+1 EN 9 9 100CTUS260 係数が1→ bn=2017 とおくと bm+1=1.bnt. p" an+1 = 2 an 1 T 3+1 3 3 よって,数列{bn+3} は初項 4,公比 1/4 の等比数列であるから bn +3=4-(²/²)^² ゆえに bo-4-(1/23) TT-3 ゆえに 00000 4. · (²/3) - ³/113-) bn=4. 基本103104 3/3 したがって α=3"b=3.2n+1-3+1 ] 別解 an+1=243+1 の両辺をtでると + 1 (2) ²0 ①の方針。 an+1=pan+q型になる。 a=1/23a-1 を解くと a=-3 bn+3=cm とおくと 1- (1/3) - · 3=4.2-1.3 次の (1) CE

この問題の⑴についてです。 Σの上に書いてある文字がnではなくn-1なのはなぜですか？？あとn-1に変わることによってnの時となにかやり方に違いはありますか？

基本例題 19 階差数列と一般項 次の数列{an}の一般項 αn を求めよ。 (1) 8, 15,24,35, 48, CHART & SOLUTION {an}の一般項(bn=an+i-an とする) わからなければ、階差数列{bn} を調べる n-1 n=2 # an= a₁ + Σbk k=1 wwwwww ゆえに よって, n ≧2 のとき n2-1 (2) 5, 7, 11, 19, 35, 解答で公式を使うときは≧2を忘れないように。 また, n=1の場合の確認を忘れない ように! ← 初項 (n=1の場合)は特別扱い。 (1) 階差数列は7, 9, 11, 13, (2) 階差数列は 2, 4, 8, 16, ***S 解答 数列{an}の階差数列{bn} とする。 (1) 数列{bn} は、 79, 11 13.….. であるから,初項 7,+ 公差2の等差数列である。 (+税) (+ bm=7+(n-1)・2=2n+5 Erin k=1 公差2の等差数列 公比2の等比数列 (S)--((-)-([—4)+(1+2) an=a₁+(2k+5)=8+2k+≥5 n-1 p.375 基本事項 3. $+)8+(1+AS)-) (I n-1 k=1 00000 k=1 3230801 =8+2.12 (n-1)n+5(n-1)=n+4n+3 8 15 24 35 48 差 : 7 9 11 13 n≧2のとき」とい 条件を忘れないよう (a+n) (L+n)n- (1 7 Σk=(n-1)(n- R=12 また,初項は α=8 であるから、上の式はn=1のとき初項(n=1の場合 にも成り立つ。 特別扱い｡ 以上により, 一般項an は an=n²+4n+3

例題34 （1）解説の赤くなっている部分で、なぜこうなるのかわからないので教えていただきたいです！

314 確率の基本 例題 34 (2) 3個のさいころを同時に投げるとき、目の和が5になる確率を求めよ。 (1) 3枚の硬貨を同時に投げるとき、2枚は表, 1枚は裏が出る確率を求めよ。 p.312 基本事項 GHART & SOLUTION 確率 7 根元事象に分けて,Nとαを求める 確率の計算では, 複数の同じ形の硬貨やさいころであっても区別して考える。 Nの計算…… 目の出方は (1)は2通り (2) は 6 通り (重複順列)。 (1) 3枚の硬貨を、例えば A, B, C と区別して,表、裏の出方を調べる。 (2) 3個のさいころの目の数をx, y, z とするとき, x+y+z=5 となる組 (x,y,z)が何 通りあるのかを求める。 解答 (1) 起こりうるすべての場合の数は、3枚の硬貨を同時に投 げるときの表・裏の出方の総数であるから 2通り このうち, 2枚は表, 1枚は裏が出る場合は (表,表,裏),(表裏表), (裏、表,表) の3通りある。 33 よって, 求める確率は 23 8 (2) 3個のさいころを同時に投げるときの目の出方の総数は 63通り 13個のさいころの目の数を, x, y, zとする。 x+y+z=5 となる組 (x, y, z) は (1,1,3),(1,2,2),(1,3,1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (3, 1, 1) の6通りある。 よって, 求める確率は 6 1 63 36 表・裏から重複を許し して,3個取る順列。 3枚の硬貨の表裏を (A, B, C) で表す。 a N inf. (2) 1個のさいころ を3回投げるときの確率と して考えても同じこと。 (1, 1, 3), (1, 2, 2) 0 2通りとするのは誤り。 (右ページ参照) a N RACTICE 34 (1) 2個のさいころを同時に投げるとき, 2個とも同じ目が出る確率と、2個の目 和が奇数になる確率を,それぞれ求めよ。 (2) 2個のさいころを同時に投げるとき, 目の和が10以上になる確率を求めよ。

(1)nー3＞nー9＞0 n＞9が分かりません、

70 素数の性質の利用 因薬 重要 例題 113 (1) ²-12n+27 の値が素数となるような自然数nをすべて求めよ。 (2) a, b, a < b を満たす自然数とするとき, a+b=p, ab=g を満たす ③ p. 426 基本事項 3| 素数p, g を求めよ。 C HART & SOLUTION 積が素数となる条件 ① 素数の正の約数は1とかのみ (1)a,bを整数, を素数とするとき 0<a<b, ab=bならば α=1,b=p (小さい方が1) a<b<0, ab=pならばa=-66-1(大きい方が-1) n²-12n+27=(n-3)(n-9) が素数のときは, n-3とn-9 がともに正の場合と,とも に負の場合がある。 (2) 積が素数(ab=g) の条件とa<bから, aとbが決まる。 また, 偶数の素数は2だけ であることを利用する。 p, g の偶奇に注目。 解答 (1) N=n²-12n +27 とすると ②2 偶数の素数は2だけ N=(n-3)(n-9) [1] n-3>n-90 すなわち>9のとき 素数となるとき n=10 セ よって このとき, n-3=7から N=7 となり、適する。 [2] n-9<n-3 <0 すなわち 1≦n <3 のとき SA 3400 08 まずNを因数分解。 08 n-3, n-9 がともに 正の数なら小さい方が1, ともに負の数なら大き い方が-1 P20Nが素数となるとき よって n=2 このとき,n-9=-7 から N = 7 となり,適する。 [1], [2] から 求めるnの値は n=2, 10 CEO'S 素数 nは自然数だからn≧1 n-3-113 (1) (8) 1≦n <3を満たす。 7 は素数。(I) (E)

(2)でなんで9B➕xの1の位が8➕2➕Xになるのかがわかりません

430 基本例題 104] 倍数の判定法 3 (1) 百の位の数が2である3桁の自然数Aがある。 Aが5の倍数であり、 の倍数であるとき、Aを求めよ。 " (2) ある2桁の自然数Bを9倍して45を足すと, 百の位が8, 十の位が2で p.426 基本事項 2 4 あるとき, B を求めよ。 CHART & SOLUTION 倍数の判定法の利用 5の倍数 3の倍数 9の倍数 0 または⑤ の位の数が 解答 各位の数の和が3の倍数 各位の数の和が9の倍数 (2) 計算して出てきた数をCとおくと, Cは3桁の自然数であることを確認する。Cの一 の位の数をxとすると、条件から8+2+xは9の倍数である。 HOTEL A の十の位, 一の位の数をそれぞれx, xとすると Aが5の倍数であるから v=0> またはy=5 Aが3の倍数であるから, 2+x+yは3の倍数である。 0≦x≦であるから、 2+y≤2+x+y≤11+y ・① 11+12...00 =0 のとき, ① は 2≤2+x≤11 *T, 2+x=3, 6, 9 457 x-1, 4.2 St y=5 のとき, ① は 7≦7+x≦16 2. よって, 7+x=9, 12, 15 から x=2,5,8 OGAO D したがって A=210,240, 270, 225,255,285 (2) Bは2桁の自然数であるから 10≤B≤99 よって 9.10+45≤9B+45≤9.99+45 すなわち 135 ≦9B+ 45 ≦936 ゆえに、9B+45 は3桁の自然数であり, 9B+45=9(B+5) であるから9の倍数である。 よって、9B+45 の一の位の数をxとすると, 8+2+x すなわち10+xは9の倍数である。 更に, 0≦x≦9 であるから 10≦10+x≦19 よって, 10+x=18 すなわち x = 8 となり 9B+45=828 したがって B=(828-45)÷9=87 PBACTICE 104② は十の位の数。 100 2以上11以下の整数の 中で3の倍数であるも のを書き出す。 DEREITA-AE 10≦B≦99 の各辺に 9 を掛け、更に45を加え る。 ort. FRONO ←10以上19 以下で9の信 数は18のみ

(ベクトルの記号は省略します) なぜbを-bとする必要があるのでしょうか？ a=a+bとしてしまえば、出来ると思うのですが...

a 要 例題 20 内積と不等式 次の不等式を証明せよ。 là ơi là lời @) WEARTO SOLUTION 不等式の証明 ABO のとき AMBA'≦B2) (1) 内積の定義を利用するか, または成分を用いて証明する。 成分を用いて証明 するときは, labps (al||) を示す。 まず、右側の不等式 la +6|≦la|+|6| を証明する。途中, (1) の結果が利用 できる部分がある。左側の不等式|al-16|≦a+6は、先に示した右側の不 等式を利用して示すとよい。 (2) |ā|-|õ|≤|ã+õ|≤|ā|+|õ| pik a·b|=|a|||| cos 0|≤|ã ||6|| よって, laba|||が成り立つ。楽 a=(a, b), b=(c, d) 232 (ARIO (alb)²—à•6³²= (a²+b²)(c²+d²)−(ac+bd)² **_0>\ =a²d²+b²c²-2acbd=(ad-bc)² ≥0 I α = 0 または 6=0 のとき, α・6=0,la||6|=0 であるから (1) 条件a=1 または la-b=alb 0」の否定は 060 のとき, a とのなす角を0とすると 「ad かつ60」 a = |a|||cose, -1≦cos0≦1 よって (al a≧0,|a|||≧0であるから la.bl≤allb (2) (1) 5 (a+b)²-|ã+6³² は実数であ= ++20+1万円) = =2(a || b-a.b) ≥0 2013 ゆえにa+a+16D² 2016≧0であるから |ã+b|≤|ã|+|b| •····· 1 p.352 基本事項1 inf. la b≤lab|62 -la|b|≤a·b≤|a||b| と表すこともできる。 <la+61² |a³²³+2|a||6|+|6³²-(la²+2à·6+6³²) = (a + b)(a + b) (1) から ① において, a を a +6,を一言とすると |ã+b−b|≤|ã+b|+|−6| <√13- 2 ← | cos 01 365 等号が成り立つのは, a=0 または = 0 また an // のとき。 24667 13 à·b≤a·b|≤|ä||b| 023 THÁHOL EASTE ●幼児の手の届かないところに置 注いてください。 字消し以外に使用 しないでください。 使ったあとは、 このスリープに入れてください。 株式会社トンボ鉛筆 ベクトルの内積 スリープは再生紙です。 PVC フタル酸エステル不使用 Phthalate Free MADE IN VIETNAMAM £5? Tällä +61 +1B| 102k lal-16|≤|a+b\ 0.05 lal-16|≤|a+b|sa|+|b1 +6+6| をベクトルの三角不等式ということがある。 aories *CACIO

（1）でなぜあまりの係数わかってないのに 勝手にあまりを一次式にしてるんですか？

92 重要 例題 58 剰余の定理の利用 (3) (1) f(x)=x-ax+b が (x-1)2 で割り切れるとき, 定数 α, b の値を求 めよ。 (2) 2以上の整数とするとき, xn-1 を(x-1)2で割ったときの余り を求めよ。 [ 学習院大 ] CHART SOLUTION M=2 + A² 割り算の問題 基本公式 A=BQ+R を利用 1 次数に注目 ② 余りには剰余の定理 (x-1)2で割り切れるf(x)=(x-1)2Q (1) n=1 53² (x-1) * 2x22 T0 81/464|1 ⇒ f(x)がx-1で割り切れ、更にその商がx-1で割り切れる。 (2) 次の恒等式を利用する。 ただし, nは自然数とし,α°= 1,6°= 1 である。 || = (^-A (ar) a²_b² = (a−b) (an-¹+an-²b+an-³p² + ... ... + abr - ² + b² −¹) 4²3 B²² (a Ma² + ab + B 解答 (1) f(x)はx-1 で割り切れるから f(1)=0 1-α+6=0 ゆえに b=a-1 よって したがって f(x)=x-ax+α-1 =(x-1)(x2+x+1-α) g(x)=x2+x+1-α とすると ゆえに g(1)=0 ゆえに a=3 両辺にx=1 を代入すると 0=a+b よって 3-α=0 これを①に代入して b=2 (2) x-1を2次式(x-1)2で割ったときの商をQ(x), 余り をax+b とすると, 次の等式が成り立つ。 x"-1=(x-1)2Q(x)+ax+6 よって PRACTICE･・・ 58 ④ 4 x"−1=(x−1)²Q(x)+ ax=a x"-1=(x-1)(x"-1+x"-2+......+x+1) であるから =(x-1){(x-1)Q(x)+α} afr ²5-a 両辺にx=1 を代入すると よって a=n したがって 求める余りは ⑥x-1+x2+..+x+1=(x-1)Q(x)+α 1+1+ ...... +1+1=a b=-a=-n ゆえに ...... SC nx-n (1)a,bは定数で、xについての整式 このとき, a h Last h=α = b 基本 54 a-1 10 -a+1 10 -a 1 1 11-a +10 4.8+(5) 条件から,g(x) もx-1 で割り切れる。 全 かおる 割り算の基本公式 A=BQ+R (x-1)2Q(x)+α(x-1) ■1=x であるから、左 の項数はxからx"ートま での n個

(1)の下線部は理解できるのですが(2)の下線部が分かりません

基本例題 77 実数解をもつ条件(2) 野 (1) xの2次方程式 (m-2)x²-2(m+1)x+m+3=0 が実数解をもつよう に、定数mの値の範囲を定めよ。 この OTA O (2)xの方程式 (m+1)x²+2(m-1)x+2m-5=0がただ1つの実数解を もつとき、定数mの値を求め |基本 76 基本 87 CHART SOLUTION 方程式が実数解をもつ条件 ( 2 次の係数) ≠ 0 ならば判別式D の利用 (1) 「2次方程式が実数解をもつ条件は D≧0 B (2) 単に「方程式」 とあるから,m+1=0 (1次方程式) の場合と m+10 (2次方程式) の場合に分ける。 「解答」 (1) 2次方程式であるから m-2=0 2次方程式の判別式をDとすると 10 2010 M. m=2 よって D ={-(m+1)}-(m-2)(m+3)=m+7 4 2次方程式が実数解をもつための条件は D≧0であるから m+7≥0 -7≤m<2, 2<m ゆえに m≥-7 よって 2) m+1=0 すなわち m = -1 のとき |-4x-7=0 か? よって, ただ1つの実数解 x=- をもつ。 4 m≠-1のとき 方程式は2次方程式で, 判別式をDとすると D=(m-1)2-(m+1)(2m-5)=-m²+m+6 -m²+m+6=0 (+2)(m-3)=0 ◆26′型であるから, D 4 2次方程式がただ1つの実数解をもつための条件は D=0 であるから (01-), (01) ゆえに これを解いて m=-2,3 これらはキー 1 を満たす。 以上から、ただ1つの実数解をもつとき m=-2,-1,3 AhA =b'2-ac を利用する。 ←m=2 かつ≧-7 -7 E 2を除く 123 場合分 it A 21 ◆2次方程式が重解をも つ場合である。 m 3章 9 2次方程式