思考プロセス
a > 0 とする。 2次関数 f(x) = x2-4x+50≦x≦)について
(1) f(x) の最小値 m (a) を求めよ。
(2) f(x) の最大値 M (α) を求めよ。
« ReAction 2次関数の最大・最小は,軸と区間の位置関係を考えよ
場合に分ける
区間 0≦x≦a に文字が含まれる。
αの値が大きくなるほど, 区間の右側が広がっていくことから,
場合分けの境界を考える。
(1) 最小値
軸が区間外
軸が区間内
軸から近い端点で最小
頂点で最小
STE
★★★☆
例題69
α > 0 であるから, 例題 72のように, 軸が区間より左に
なることはない。
右側へ広げていく
(2) 最大値
軸から遠い方の端点がx=0
軸から遠い方の端点がx=α
放物線の対称性を利用する。
解 f(x) = x2-4x+5= (x-2) + 1
よって, y=f(x) のグラフは, 軸が直線x= 2, 頂点が点
(2,1)の下に凸の放物線である。
(1) (ア) 0 <a< 2 のとき
1
軸は区間より右にあるから,
f(x) は x = a のとき最小と
なる。
a²-4a+5
a = 2 は (ア)(イ) のどち
らに含めてもよいが、必
ずどちらかには含めなけ
ればならない。
区間内で f(x) は減少す
1
よって
るから f(0) > f(a)
Oa
x
m(a) = f(a) = α -4a + 5
(イ) 2≦αのとき
軸は区間内にあるから, f(x) は
x=2のとき最小となる。
よって
m(a) = f(2) =1
(ア)(イ)より
m(a) = {a² – 1
1
1
0|
2 a
4a+5 (0<a< 2 のとき)
(2) (ア) 0<a<4のとき
(2≦a のとき)
軸は区間の中央より右にあるから,
f(x) は x = 0 のとき最大となる。
M(a)=f(0) = 5
よって
a
da
Point ② 参照。
軸が区間内にないときも
x=0で最大となる。
