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例題 140 an+1= f (n)an+α型の漸化式 ★★★☆☆
kan+1 によって定められる数列{an}がある。
a1=2, an+1=-
an
(1)
n(n+1)*
(2) an をnの式で表せ。
n+2
HEAL (1) bn=
拍動
n
= bm とおくとき, bn+1 をbnとnの式で表せ。
an
`n(n+1) '
を利用するため, 漸化式の両辺を(n+1)(n+2)
で割る。
(2) (1) から 6n+1=bn+f(n) [階差数列の形] 。 まず, 数列{bn}の一般項を求める。
(67) 12
n+2
an
n(n+1)
[解答 (1) an+1=- an+1 の両辺を (n+1)(n+2) で割ると
dan+1___________
n
an
(n+1)(n+2)¯¯n(n+1)*(n+1)(n+2) (*)
DO SPR
bn+1=
= 6 とおくと
165 = 1+
bn=b₁+Σ
an+1
(n+1)(n+2)
n-1
(n+1) の式
まず、漸化式の
a 1
4 (2) b₁=- -=1 である。 (1) から, n ≧2のとき
階差数列1.2
=
bn+1=bn+.
=
n (3n+1)
2
n-1
k=1 (k+1)(k+2)
=1+(1/2-3)+(-1)+..+(1/
1
1
3
1
3n+1
„]=_ =1+.
2 n+1 2
n+1 2(n+1)
初項は b=1 であるから,①はn=1のときも成り立つ。 初項は特別扱い
よって
an=n(n+1)bn=n(n+1). 3n+1
2(n+1)
1
(n+1)(n+2)
=1+2
k=1\k+1 k+2
100
◆例題135,125
n+1
検討 上の例題で、 おき換えの式が与えられていない場合の対処法
n+2
漸化式のに
n
an=n(n+1)bm,
an+1=(n+1)(n+2)b
を漸化式に代入して
もよい。
部分分数に分解して、
差の形を作る。
途中が消えて、最初と
最後だけが残る。
例題125 と同様)
が掛けられているから, 漸化式の両辺に×(nの式)をすることで
f(n+1)an+1=f(n)an+g(n) [階差数列型の漸化式] に変形することを目指す。
nの式
