思考プロセス
例題 274 2つの
初項1, 公差2の等差数列{a} と初項 1, 公差3の等差数列{bn}がある。
(2) 数列{a} {bm}に共通して含まれる項を小さい方から順に並べてで
(1) 数列{an}と{bm} の一般項をそれぞれ求めよ。
きる数列{cm} の一般項を求めよ。
(2) 未知のものを文字でおく
da
{a}の第1項と{bm} の第項が等しいとする。
⇒21-1=3m-2 (l,mは自然数)
21-3m=1の自然数解
1次不定方程式
下
Action » 等差数列{an}, {bn} の共通項は,a=bmとして不定方程式を解け
解 (1) 数列{a} の一般項は
an=1+(n-1)・2=2n-1
数列{6}の一般項は
bn=1+(n-1)・3=3n-2
(2){a} の第1項と {bm} の第m項が等しいとすると,.
a₁ = bm
21-1=3m-2より
2l-3m = -1
l=1,m=1はこれを満たすから
2(1-1)=3(m-1)
...
・①
21-3m=-1
2と3は互いに素であるから, l-1は3の倍数である。 2・13・11
よって, l-1 = 3k (kは整数) とおくと
2(1-1)-3(m-1)=0
l=3k+1
これを①に代入して整理すると
m=2k+1
lmは自然数より
k=0,1,2,
...
nは自然数より, n=k+1 とおくと k=n-1-
ゆえに,l=3n-2 (n=1,2,3, ...) であるから
(別解
=2(3n-2)-1=6n-5
Cn=a3n-2
2つの等差数列の項を書き並べると
{az}:1,3,5,7,9,11,13,
{6}:1,
4, 7, 10, 13,
16, 19,
よって、求める数列{cm} は, 初項1の等差数列となる。
公差は2つの数列の公差2,3の最小公倍数 6である
から
19, 15, 17, 19,
...
3k+1≧1 より k≧0
12k+1≧1より 20
nとんの対応は,不定
方程式 ①を解くときに
いた整数 1, m の組によっ
て変わる。
具体的に考える
{an}, {bn} を具体的に書
き出して, 規則性を見つ
る。
ける。
{cm}:1, 7, 13, 19, …
Cn=1+(n-1)・6=6n-5
